Решение задачи: груз на пружине в ускоряющемся лифте

Хорошо, продолжим решать задачи.
8. В лифте, поднимающемся с постоянным ускорением, модуль которого \(a = 1,0 \frac{м}{с^2}\), на лёгкой пружине с коэффициентом жёсткости \(k = 150 \frac{Н}{м}\) висит груз. Определите массу \(m\) груза, если удлинение пружины \(\Delta x = 22\) мм. Решение: Дано: Ускорение лифта \(a = 1,0 \frac{м}{с^2}\) Коэффициент жёсткости пружины \(k = 150 \frac{Н}{м}\) Удлинение пружины \(\Delta x = 22\) мм Найти: Масса груза \(m\) Переведём удлинение пружины в метры: \( \Delta x = 22 \text{ мм} = 0,022 \text{ м} \) Когда лифт поднимается с ускорением, на груз действуют две силы: 1. Сила тяжести \(F_{тяж} = m \cdot g\), направленная вниз. 2. Сила упругости пружины \(F_{упр} = k \cdot \Delta x\), направленная вверх. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил равна произведению массы на ускорение. Поскольку лифт движется вверх с ускорением \(a\), то равнодействующая сила также направлена вверх: \( F_{упр} - F_{тяж} = m \cdot a \) \( k \cdot \Delta x - m \cdot g = m \cdot a \) Наша цель – найти массу \(m\). Вынесем \(m\) за скобки: \( k \cdot \Delta x = m \cdot a + m \cdot g \) \( k \cdot \Delta x = m \cdot (a + g) \) Отсюда выразим \(m\): \( m = \frac{k \cdot \Delta x}{a + g} \) Примем ускорение свободного падения \(g = 10 \frac{м}{с^2}\). Подставим известные значения: \( m = \frac{150 \frac{Н}{м} \cdot 0,022 \text{ м}}{1,0 \frac{м}{с^2} + 10 \frac{м}{с^2}} \) \( m = \frac{3,3 \text{ Н}}{11 \frac{м}{с^2}} \) \( m = 0,3 \text{ кг} \) Ответ: \(0,3 \text{ кг}\).
9. Груз массой \(m = 200\) г, подвешенный к пружине, растягивает её на \(\Delta x_1 = 30\) мм. Определите удлинение пружины \(\Delta x_2\) при её движении вертикально вверх с ускорением, модуль которого \(a = 2,0 \frac{м}{с^2}\). Решение: Дано: Масса груза \(m = 200\) г Удлинение пружины в покое \(\Delta x_1 = 30\) мм Ускорение лифта \(a = 2,0 \frac{м}{с^2}\) Найти: Удлинение пружины \(\Delta x_2\) при движении с ускорением. Сначала переведём все величины в СИ: \( m = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг} \) \( \Delta x_1 = 30 \text{ мм} = 0,03 \text{ м} \) Примем ускорение свободного падения \(g = 10 \frac{м}{с^2}\). Шаг 1: Определим коэффициент жёсткости пружины \(k\). Когда груз висит в покое, сила упругости пружины равна силе тяжести: \( F_{упр1} = F_{тяж} \) \( k \cdot \Delta x_1 = m \cdot g \) \( k = \frac{m \cdot g}{\Delta x_1} \) Подставим значения: \( k = \frac{0,2 \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2}}{0,03 \text{ м}} \) \( k = \frac{2 \text{ Н}}{0,03 \text{ м}} \) \( k \approx 66,67 \frac{Н}{м} \) Шаг 2: Определим удлинение пружины \(\Delta x_2\) при движении вверх с ускорением. Как и в предыдущей задаче, используем второй закон Ньютона. Равнодействующая сил направлена вверх: \( F_{упр2} - F_{тяж} = m \cdot a \) \( k \cdot \Delta x_2 - m \cdot g = m \cdot a \) Выразим \(\Delta x_2\): \( k \cdot \Delta x_2 = m \cdot a + m \cdot g \) \( k \cdot \Delta x_2 = m \cdot (a + g) \) \( \Delta x_2 = \frac{m \cdot (a + g)}{k} \) Подставим известные значения: \( \Delta x_2 = \frac{0,2 \text{ кг} \cdot (2,0 \frac{м}{с^2} + 10 \frac{м}{с^2})}{66,67 \frac{Н}{м}} \) \( \Delta x_2 = \frac{0,2 \text{ кг} \cdot 12 \frac{м}{с^2}}{66,67 \frac{Н}{м}} \) \( \Delta x_2 = \frac{2,4 \text{ Н}}{66,67 \frac{Н}{м}} \) \( \Delta x_2 \approx 0,036 \text{ м} \) Переведём удлинение в миллиметры: \( \Delta x_2 = 0,036 \text{ м} = 36 \text{ мм} \) Ответ: \(36 \text{ мм}\).
10. Шарик массой \(m = 0,50\) кг, подвешенный на упругом лёгком шнуре с коэффициентом жёсткости \(k = 100 \frac{Н}{м}\), равномерно движется по окружности так, что шнур описывает коническую поверхность, образуя угол \(\alpha = 60^\circ\) с вертикалью. Определите угловую скорость вращения шарика, если длина шнура в недеформированном состоянии \(l_0 = 70\) см. Решение: Дано: Масса шарика \(m = 0,50\) кг Коэффициент жёсткости шнура \(k = 100 \frac{Н}{м}\) Угол с вертикалью \(\alpha = 60^\circ\) Длина шнура в недеформированном состоянии \(l_0 = 70\) см Найти: Угловая скорость \(\omega\) Переведём длину шнура в метры: \( l_0 = 70 \text{ см} = 0,7 \text{ м} \) Примем ускорение свободного падения \(g = 10 \frac{м}{с^2}\). Рассмотрим силы, действующие на шарик: 1. Сила тяжести \(F_{тяж} = m \cdot g\), направленная вертикально вниз. 2. Сила упругости шнура \(F_{упр} = k \cdot \Delta l\), направленная вдоль шнура (под углом \(\alpha\) к вертикали). Разложим силу упругости на две составляющие: * Вертикальная составляющая: \(F_{упр, верт} = F_{упр} \cdot \cos \alpha\) * Горизонтальная составляющая: \(F_{упр, гор} = F_{упр} \cdot \sin \alpha\) Поскольку шарик движется равномерно по горизонтальной окружности, вертикальные силы скомпенсированы, а горизонтальная составляющая силы упругости является центростремительной силой. Уравнения движения: По вертикали (равновесие): \( F_{упр, верт} - F_{тяж} = 0 \) \( F_{упр} \cdot \cos \alpha = m \cdot g \) (1) По горизонтали (центростремительная сила): \( F_{упр, гор} = F_{центр} \) \( F_{упр} \cdot \sin \alpha = m \cdot a_{центр} \) (2) где \(a_{центр} = \omega^2 \cdot R\) – центростремительное ускорение, а \(R\) – радиус окружности, по которой движется шарик. Радиус \(R\) связан с длиной шнура \(l\) (деформированной) и углом \(\alpha\): \( R = l \cdot \sin \alpha \) Длина деформированного шнура \(l\) связана с его недеформированной длиной \(l_0\) и удлинением \(\Delta l\): \( l = l_0 + \Delta l \) Из уравнения (1) выразим \(F_{упр}\): \( F_{упр} = \frac{m \cdot g}{\cos \alpha} \) Также по закону Гука: \( F_{упр} = k \cdot \Delta l \) Значит, \( \Delta l = \frac{F_{упр}}{k} = \frac{m \cdot g}{k \cdot \cos \alpha} \) Теперь найдём деформированную длину шнура \(l\): \( l = l_0 + \Delta l = l_0 + \frac{m \cdot g}{k \cdot \cos \alpha} \) Подставим значения: \( \cos 60^\circ = 0,5 \) \( l = 0,7 \text{ м} + \frac{0,50 \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2}}{100 \frac{Н}{м} \cdot 0,5} \) \( l = 0,7 \text{ м} + \frac{5 \text{ Н}}{50 \frac{Н}{м}} \) \( l = 0,7 \text{ м} + 0,1 \text{ м} \) \( l = 0,8 \text{ м} \) Теперь вернёмся к уравнению (2): \( F_{упр} \cdot \sin \alpha = m \cdot \omega^2 \cdot R \) Подставим \(F_{упр} = \frac{m \cdot g}{\cos \alpha}\) и \(R = l \cdot \sin \alpha\): \( \frac{m \cdot g}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha = m \cdot \omega^2 \cdot (l \cdot \sin \alpha) \) Сократим \(m\) и \(\sin \alpha\) (так как \(\alpha = 60^\circ \neq 0\)): \( \frac{g}{\cos \alpha} = \omega^2 \cdot l \) Выразим угловую скорость \(\omega\): \( \omega^2 = \frac{g}{l \cdot \cos \alpha} \) \( \omega = \sqrt{\frac{g}{l \cdot \cos \alpha}} \) Подставим значения: \( \omega = \sqrt{\frac{10 \frac{м}{с^2}}{0,8 \text{ м} \cdot 0,5}} \) \( \omega = \sqrt{\frac{10 \frac{м}{с^2}}{0,4 \text{ м}}} \) \( \omega = \sqrt{25 \frac{1}{с^2}} \) \( \omega = 5 \frac{рад}{с} \) Ответ: \(5 \frac{рад}{с}\).