Задача 9.
Дано:
Масса груза \(m = 300\) г \( = 0,3\) кг
Растяжение пружины в покое \(\Delta x_0 = 30\) мм \( = 0,03\) м
Ускорение при движении вверх \(a = 2,0\) м/с\(^2\)
Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\)
Найти:
Удлинение пружины \(\Delta x\) при движении вверх.
Решение:
1. Сначала определим жесткость пружины \(k\). Когда груз висит на пружине в покое, сила тяжести уравновешивается силой упругости.
Сила тяжести: \(F_т = mg\)
Сила упругости: \(F_{упр} = k \Delta x_0\)
В равновесии: \(mg = k \Delta x_0\)
Отсюда жесткость пружины: \(k = \frac{mg}{\Delta x_0}\)
Подставим значения: \(k = \frac{0,3 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{0,03 \text{ м}} = \frac{2,94 \text{ Н}}{0,03 \text{ м}} = 98 \text{ Н/м}\)
2. Теперь рассмотрим случай, когда груз движется вертикально вверх с ускорением \(a\). В этом случае на груз действуют две силы: сила тяжести, направленная вниз, и сила упругости пружины, направленная вверх.
Согласно второму закону Ньютона:
\(F_{упр} - F_т = ma\)
Подставим выражения для сил:
\(k \Delta x - mg = ma\)
Отсюда выразим удлинение пружины \(\Delta x\):
\(k \Delta x = ma + mg\)
\(k \Delta x = m(a + g)\)
\(\Delta x = \frac{m(a + g)}{k}\)
3. Подставим известные значения:
\(\Delta x = \frac{0,3 \text{ кг} \cdot (2,0 \text{ м/с}^2 + 9,8 \text{ м/с}^2)}{98 \text{ Н/м}}\)
\(\Delta x = \frac{0,3 \text{ кг} \cdot 11,8 \text{ м/с}^2}{98 \text{ Н/м}}\)
\(\Delta x = \frac{3,54 \text{ Н}}{98 \text{ Н/м}}\)
\(\Delta x \approx 0,03612 \text{ м}\)
4. Переведем результат в миллиметры:
\(\Delta x = 0,03612 \text{ м} \cdot 1000 \text{ мм/м} \approx 36,12 \text{ мм}\)
Ответ:
Удлинение пружины \(\Delta x \approx 36,12\) мм.
Задача 10.
Дано:
Масса шарика \(m = 0,50\) кг
Коэффициент жесткости шнура \(k = 100\) Н/м
Угол \(\alpha = 60^\circ\) с вертикалью
Длина шнура в недеформированном состоянии \(l_0 = 70\) см \( = 0,7\) м
Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\)
Найти:
Угловая скорость вращения шарика \(\omega\).
Решение:
1. Рассмотрим силы, действующие на шарик. Это сила тяжести \(mg\), направленная вертикально вниз, и сила упругости шнура \(F_{упр}\), направленная вдоль шнура к точке подвеса.
2. Разложим силу упругости на две составляющие: вертикальную \(F_{упр,y}\) и горизонтальную \(F_{упр,x}\).
Вертикальная составляющая: \(F_{упр,y} = F_{упр} \cos \alpha\)
Горизонтальная составляющая: \(F_{упр,x} = F_{упр} \sin \alpha\)
3. Шарик движется по окружности в горизонтальной плоскости. Это означает, что вертикальные силы уравновешены, а горизонтальная составляющая силы упругости создает центростремительное ускорение.
В вертикальном направлении: \(F_{упр,y} = mg\)
\(F_{упр} \cos \alpha = mg\)
В горизонтальном направлении: \(F_{упр,x} = F_{центростремительная}\)
\(F_{упр} \sin \alpha = m a_{центростремительная}\)
Центростремительное ускорение \(a_{центростремительная} = \omega^2 R\), где \(R\) — радиус окружности, по которой движется шарик.
Тогда: \(F_{упр} \sin \alpha = m \omega^2 R\)
4. Из первого уравнения выразим силу упругости: \(F_{упр} = \frac{mg}{\cos \alpha}\)
5. Подставим это выражение во второе уравнение:
\(\frac{mg}{\cos \alpha} \sin \alpha = m \omega^2 R\)
\(mg \tan \alpha = m \omega^2 R\)
Сократим массу \(m\):
\(g \tan \alpha = \omega^2 R\)
Отсюда выразим угловую скорость \(\omega\):
\(\omega^2 = \frac{g \tan \alpha}{R}\)
\(\omega = \sqrt{\frac{g \tan \alpha}{R}}\)
6. Теперь нам нужно найти радиус \(R\) и силу упругости \(F_{упр}\).
Радиус \(R\) связан с длиной шнура \(l\) и углом \(\alpha\): \(R = l \sin \alpha\)
Сила упругости \(F_{упр}\) также связана с удлинением шнура \(\Delta l\): \(F_{упр} = k \Delta l\)
Длина шнура \(l = l_0 + \Delta l\)
Из уравнения \(F_{упр} \cos \alpha = mg\), мы знаем \(F_{упр} = \frac{mg}{\cos \alpha}\).
Значит, \(k \Delta l = \frac{mg}{\cos \alpha}\)
Отсюда удлинение шнура: \(\Delta l = \frac{mg}{k \cos \alpha}\)
7. Найдем удлинение \(\Delta l\):
\(\cos 60^\circ = 0,5\)
\(\Delta l = \frac{0,50 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{100 \text{ Н/м} \cdot 0,5} = \frac{4,9 \text{ Н}}{50 \text{ Н/м}} = 0,098 \text{ м}\)
8. Найдем текущую длину шнура \(l\):
\(l = l_0 + \Delta l = 0,7 \text{ м} + 0,098 \text{ м} = 0,798 \text{ м}\)
9. Найдем радиус окружности \(R\):
\(\sin 60^\circ \approx 0,866\)
\(R = l \sin \alpha = 0,798 \text{ м} \cdot 0,866 \approx 0,691 \text{ м}\)
10. Теперь можем вычислить угловую скорость \(\omega\):
\(\tan 60^\circ \approx 1,732\)
\(\omega = \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 1,732}{0,691 \text{ м}}}\)
\(\omega = \sqrt{\frac{16,98}{0,691}}\)
\(\omega = \sqrt{24,57}\)
\(\omega \approx 4,957 \text{ рад/с}\)
Ответ:
Угловая скорость вращения шарика \(\omega \approx 4,96\) рад/с.