2. Найдите значение выражения:
1) \(4\sqrt[6]{64} - \sqrt[4]{625} - 5\sqrt[3]{-27}\)
Решение:
Сначала вычислим корни:
\(\sqrt[6]{64} = 2\), так как \(2^6 = 64\).
\(\sqrt[4]{625} = 5\), так как \(5^4 = 625\).
\(\sqrt[3]{-27} = -3\), так как \((-3)^3 = -27\).
Теперь подставим эти значения в выражение:
\(4 \cdot 2 - 5 - 5 \cdot (-3)\)
\(8 - 5 + 15\)
\(3 + 15\)
\(18\)
Ответ: \(18\)
2) \(\sqrt[10]{5^{20} \cdot 2^{30}}\)
Решение:
Используем свойство корня \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) и свойство \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\):
\(\sqrt[10]{5^{20} \cdot 2^{30}} = \sqrt[10]{5^{20}} \cdot \sqrt[10]{2^{30}}\)
\(= 5^{\frac{20}{10}} \cdot 2^{\frac{30}{10}}\)
\(= 5^2 \cdot 2^3\)
\(= 25 \cdot 8\)
\(= 200\)
Ответ: \(200\)
3) \(\sqrt[3]{0,216 \cdot 8}\)
Решение:
Сначала перемножим числа под корнем:
\(0,216 \cdot 8 = 1,728\)
Теперь извлечем кубический корень из \(1,728\):
\(\sqrt[3]{1,728} = 1,2\), так как \(1,2^3 = 1,728\).
Ответ: \(1,2\)
4) \(\frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}}\)
Решение:
Используем свойство \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\):
\(\frac{\sqrt[3]{625}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\frac{625}{5}}\)
\(= \sqrt[3]{125}\)
\(= 5\), так как \(5^3 = 125\).
Ответ: \(5\)
4. Сократите дробь:
1) \(\frac{m - 3m^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{2}{3}} - 3}\)
Решение:
Заметим, что \(m = (m^{\frac{1}{3}})^3\). Вынесем \(m^{\frac{1}{3}}\) из числителя:
\(m - 3m^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{2}{3}} - 3)\)
Теперь подставим это в дробь:
\(\frac{m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{2}{3}} - 3)}{m^{\frac{2}{3}} - 3}\)
Сократим на \((m^{\frac{2}{3}} - 3)\), при условии, что \(m^{\frac{2}{3}} - 3 \neq 0\):
\(= m^{\frac{1}{3}}\)
Ответ: \(m^{\frac{1}{3}}\)
2) \(\frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}}}\)
Решение:
Заметим, что \(m^{\frac{1}{2}} = (m^{\frac{1}{4}})^2\) и \(n^{\frac{1}{2}} = (n^{\frac{1}{4}})^2\). Используем формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):
\(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}} = (m^{\frac{1}{4}})^2 - (n^{\frac{1}{4}})^2 = (m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}})(m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}})\)
Теперь подставим это в дробь:
\(\frac{(m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}})(m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}})}{m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}}}\)
Сократим на \((m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}})\), при условии, что \(m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}} \neq 0\):
\(= m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}}\)
Ответ: \(m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}}\)
3) \(\frac{x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{2}}}\)
Решение:
Рассмотрим числитель. Заметим, что \(x^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1}{6}})^2\) и \(y^{\frac{1}{3}} = (y^{\frac{1}{6}})^2\). Числитель является полным квадратом разности: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\).
\(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}})^2\)
Рассмотрим знаменатель. Вынесем общий множитель \(x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\):
\(x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}})\)
\(= x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{3-2}{6}} - y^{\frac{3-2}{6}})\)
\(= x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}})\)
Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
\(\frac{(x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}})^2}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}})}\)
Сократим на \((x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}})\), при условии, что \(x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}} \neq 0\):
\(= \frac{x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}}\)
Ответ: \(\frac{x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}}\)