Решение второго варианта по обратным тригонометрическим функциям

Ниже представлено решение заданий II варианта самостоятельной работы по теме Обратные тригонометрические функции. Решения записаны кратко, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Задание 1 \[ 2 \cdot (\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \text{arctg } 0) - \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot (\frac{3\pi}{4} + 0) - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi - 2\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \] Задание 2 \[ \frac{\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \text{arctg}(-1)}{\arcsin \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{6}{\pi} = 3 \] Задание 3 \[ 2 \arcsin(-\frac{1}{2}) - \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) - (-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \] Задание 4 \[ \arcsin(-\frac{1}{2}) - \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \text{arcctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} - \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{8\pi - 9\pi}{12} = -\frac{\pi}{12} \] Задание 5 Пусть \( \alpha = \arccos \frac{12}{13} \), тогда \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \) и \( \alpha \in [0; \pi] \). Так как косинус положителен, угол в I четверти, значит \( \sin \alpha > 0 \). \[ \sin(\arccos \frac{12}{13}) = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} \] Задание 6 Пусть \( \alpha = \arcsin(-0,6) \), тогда \( \sin \alpha = -0,6 = -\frac{3}{5} \) и \( \alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \). Угол в IV четверти, значит \( \cos \alpha > 0 \). \[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (-0,6)^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8 \] \[ \text{tg}(\arcsin(-0,6)) = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-0,6}{0,8} = -0,75 \]