На странице представлено подробное решение задачи на вычисление площади параллелограмма MNKP с объяснением каждого шага. Указано на ошибку в условии.
check_circle
Подробное решение
Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь.
Задача 9. По данным рисунка 138 вычислите площадь параллелограмма.
1) Параллелограмм MNKP
Дано:
Сторона \(MN = 8\)
Сторона \(NP = 6\)
\(\angle M + \angle P = 60^\circ\)
Решение:
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\).
Значит, \(\angle M + \angle N = 180^\circ\).
Также, противоположные углы параллелограмма равны: \(\angle M = \angle K\) и \(\angle N = \angle P\).
Из условия \(\angle M + \angle P = 60^\circ\), подставим \(\angle P = \angle N\):
\(\angle M + \angle N = 60^\circ\).
Но мы знаем, что \(\angle M + \angle N = 180^\circ\).
Это означает, что в условии задачи допущена ошибка, так как сумма двух соседних углов не может быть одновременно \(60^\circ\) и \(180^\circ\).
Предположим, что в условии имелось в виду, что \(\angle M = 60^\circ\) или \(\angle P = 60^\circ\).
Если \(\angle M = 60^\circ\), то площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
\(S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\), где \(a\) и \(b\) - смежные стороны, а \(\alpha\) - угол между ними.
\(S = MN \cdot NP \cdot \sin(\angle M)\)
\(S = 8 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ)\)
\(S = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(S = 24\sqrt{3}\)
Если же имелось в виду, что \(\angle M + \angle K = 60^\circ\), то так как \(\angle M = \angle K\), то \(2 \cdot \angle M = 60^\circ\), откуда \(\angle M = 30^\circ\).
Тогда:
\(S = MN \cdot NP \cdot \sin(\angle M)\)
\(S = 8 \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ)\)
\(S = 48 \cdot \frac{1}{2}\)
\(S = 24\)
Из-за противоречия в условии \(\angle M + \angle P = 60^\circ\) (так как \(\angle P = \angle N\), а \(\angle M + \angle N = 180^\circ\)), невозможно однозначно решить задачу.
Если предположить, что \(\angle M = 60^\circ\), то \(S = 24\sqrt{3}\).
Если предположить, что \(\angle M = 30^\circ\) (как если бы \(\angle M + \angle K = 60^\circ\)), то \(S = 24\).
Наиболее вероятно, что имелся в виду один из углов, например, \(\angle M = 60^\circ\).
Ответ: \(24\sqrt{3}\) (при условии, что \(\angle M = 60^\circ\)).
2) Параллелограмм ABCD
Дано:
Сторона \(AB = 8\)
Сторона \(BC = 12\)
Диагональ \(AC\) делит угол \(\angle A\) на \(20^\circ\) и угол \(\angle C\) на \(10^\circ\).
То есть, \(\angle BAC = 20^\circ\) и \(\angle ACD = 10^\circ\).
Решение:
В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Значит, \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD\).
Рассмотрим треугольник \(ABC\).
Угол \(\angle BAC = 20^\circ\).
Так как \(AB \parallel CD\), то \(\angle BAC = \angle ACD\) как накрест лежащие углы при секущей \(AC\).
Но по условию \(\angle BAC = 20^\circ\) и \(\angle ACD = 10^\circ\). Это противоречие.
Если \(\angle BAC = 20^\circ\), то \(\angle ACD\) также должен быть \(20^\circ\).
Если \(\angle ACD = 10^\circ\), то \(\angle BAC\) также должен быть \(10^\circ\).
Предположим, что \(\angle BAC = 20^\circ\) и \(\angle BCA = 10^\circ\). (Это более логично, так как углы при одной вершине A и C).
Тогда в треугольнике \(ABC\):
\(\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 20^\circ - 10^\circ = 150^\circ\).
Площадь треугольника \(ABC\) можно найти по формуле:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin(150^\circ)\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot \frac{1}{2}\)
\(S_{ABC} = 24\)
Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника, образованного диагональю:
\(S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot 24 = 48\).
Если же интерпретировать углы как \(\angle CAD = 20^\circ\) и \(\angle ACD = 10^\circ\).
Тогда в треугольнике \(ACD\):
\(\angle ADC = 180^\circ - \angle CAD - \angle ACD = 180^\circ - 20^\circ - 10^\circ = 150^\circ\).
Стороны \(AD = BC = 12\), \(CD = AB = 8\).
Площадь треугольника \(ACD\):
\(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin(\angle ADC)\)
\(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \sin(150^\circ)\)
\(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot \frac{1}{2}\)
\(S_{ACD} = 24\)
Площадь параллелограмма \(S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ACD} = 2 \cdot 24 = 48\).
В данном случае, из-за неоднозначности обозначения углов на рисунке (две дуги у \(10^\circ\) и одна у \(20^\circ\)), а также противоречия, если считать их накрест лежащими, я предположил, что \(20^\circ\) - это часть угла A (\(\angle BAC\)) и \(10^\circ\) - это часть угла C (\(\angle BCA\)).
Однако, если внимательно посмотреть на рисунок, \(20^\circ\) - это \(\angle BAC\), а \(10^\circ\) - это \(\angle ACD\).
Если \(\angle BAC = 20^\circ\), то \(\angle ACD\) также должен быть \(20^\circ\) (как накрест лежащие при \(AB \parallel CD\)).
Если \(\angle ACD = 10^\circ\), то \(\angle BAC\) также должен быть \(10^\circ\).
Это явное противоречие в условии задачи.
Если предположить, что \(\angle BAC = 20^\circ\) и \(\angle BCA = 10^\circ\), то площадь \(48\).
Если предположить, что \(\angle CAD = 20^\circ\) и \(\angle ACD = 10^\circ\), то площадь \(48\).
Если же предположить, что \(20^\circ\) - это \(\angle DAB\) и \(10^\circ\) - это \(\angle BCD\), то это неверно, так как углы параллелограмма не могут быть такими маленькими.
Давайте попробуем другой подход, если \(20^\circ\) и \(10^\circ\) - это части углов.
Пусть \(\angle BAC = 20^\circ\).
Пусть \(\angle BCA = 10^\circ\).
Тогда \(\angle ABC = 180^\circ - 20^\circ - 10^\circ = 150^\circ\).
Площадь параллелограмма \(S = AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)\)
\(S = 8 \cdot 12 \cdot \sin(150^\circ)\)
\(S = 96 \cdot \frac{1}{2}\)
\(S = 48\).
Ответ: \(48\).
3) Параллелограмм PTNK
Дано:
Сторона \(TN = 18\)
Диагональ \(TK = 24\)
Угол \(\angle NTK = 30^\circ\) (угол между стороной и диагональю).
Решение:
Площадь параллелограмма можно найти как удвоенную площадь треугольника, образованного диагональю.
Рассмотрим треугольник \(TNK\).
Известны две стороны \(TN = 18\), \(TK = 24\) и угол между ними \(\angle NTK = 30^\circ\).
Площадь треугольника \(TNK\):
\(S_{TNK} = \frac{1}{2} \cdot TN \cdot TK \cdot \sin(\angle NTK)\)
\(S_{TNK} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 \cdot \sin(30^\circ)\)
\(S_{TNK} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 \cdot \frac{1}{2}\)
\(S_{TNK} = \frac{1}{4} \cdot 432\)
\(S_{TNK} = 108\)
Площадь параллелограмма \(S_{PTNK} = 2 \cdot S_{TNK}\)
\(S_{PTNK} = 2 \cdot 108 = 216\).
Ответ: \(216\).
4) Параллелограмм ABCD
Дано:
Сторона \(BC = 9\)
Сторона \(CD = 12\)
\(\angle A + \angle B + \angle C = 210^\circ\)
Решение:
В параллелограмме сумма всех углов равна \(360^\circ\).
\(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\).
Из условия \(\angle A + \angle B + \angle C = 210^\circ\).
Подставим это в сумму всех углов:
\(210^\circ + \angle D = 360^\circ\)
\(\angle D = 360^\circ - 210^\circ\)
\(\angle D = 150^\circ\).
В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому \(\angle B = \angle D = 150^\circ\).
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\).
Значит, \(\angle C + \angle D = 180^\circ\).
\(\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\).
Также \(\angle A = \angle C = 30^\circ\).
Проверим: \(\angle A + \angle B + \angle C = 30^\circ + 150^\circ + 30^\circ = 210^\circ\). Условие выполняется.
Теперь у нас есть смежные стороны \(BC = 9\), \(CD = 12\) и угол между ними \(\angle C = 30^\circ\).
Площадь параллелограмма:
\(S = BC \cdot CD \cdot \sin(\angle C)\)
\(S = 9 \cdot 12 \cdot \sin(30^\circ)\)
\(S = 108 \cdot \frac{1}{2}\)
\(S = 54\).
Ответ: \(54\).
Задача 5. Заполните таблицу, где \(a\) и \(b\) — длины смежных сторон параллелограмма, \(h_1\) и \(h_2\) — соответственно длины высот, проведенных к этим сторонам, \(S\) — площадь параллелограмма.
Формулы для площади параллелограмма:
\(S = a \cdot h_a\) (или \(S = a \cdot h_1\))
\(S = b \cdot h_b\) (или \(S = b \cdot h_2\))
\(S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)\), где \(\alpha\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).
Заполним таблицу по столбцам.
Столбец 1:
Дано: \(a = 4,8\) см, \(b = 6\) см, \(h_1 = 5\) см.
Найти: \(h_2\), \(S\).
1. Найдем площадь \(S\), используя сторону \(a\) и высоту \(h_1\), проведенную к ней:
\(S = a \cdot h_1\)
\(S = 4,8 \cdot 5\)
\(S = 24\) см\(^2\).
2. Найдем высоту \(h_2\), проведенную к стороне \(b\), используя найденную площадь \(S\):
\(S = b \cdot h_2\)
\(24 = 6 \cdot h_2\)
\(h_2 = \frac{24}{6}\)
\(h_2 = 4\) см.
Результаты для столбца 1:
\(h_2 = 4\) см
\(S = 24\) см\(^2\)
Столбец 2:
Дано: \(a = 3\) см, \(h_2 = 3,6\) см, \(S = 18\) см\(^2\).
Найти: \(b\), \(h_1\).
1. Найдем сторону \(b\), используя площадь \(S\) и высоту \(h_2\), проведенную к ней:
\(S = b \cdot h_2\)
\(18 = b \cdot 3,6\)
\(b = \frac{18}{3,6}\)
\(b = 5\) см.
2. Найдем высоту \(h_1\), проведенную к стороне \(a\), используя площадь \(S\):
\(S = a \cdot h_1\)
\(18 = 3 \cdot h_1\)
\(h_1 = \frac{18}{3}\)
\(h_1 = 6\) см.
Результаты для столбца 2:
\(b = 5\) см
\(h_1 = 6\) см
Столбец 3:
Дано: \(b = 6,5\) см, \(h_1 = 5,2\) см, \(h_2 = 4\) см.
Найти: \(a\), \(S\).
1. Найдем площадь \(S\), используя сторону \(b\) и высоту \(h_2\), проведенную к ней:
\(S = b \cdot h_2\)
\(S = 6,5 \cdot 4\)
\(S = 26\) см\(^2\).
2. Найдем сторону \(a\), используя найденную площадь \(S\) и высоту \(h_1\), проведенную к ней:
\(S = a \cdot h_1\)
\(26 = a \cdot 5,2\)
\(a = \frac{26}{5,2}\)
\(a = 5\) см.
Результаты для столбца 3:
\(a = 5\) см
\(S = 26\) см\(^2\)
Столбец 4:
Дано: \(h_1 = 7,5\) см, \(h_2 = 5\) см, \(S = 30\) см\(^2\).
Найти: \(a\), \(b\).
1. Найдем сторону \(a\), используя площадь \(S\) и высоту \(h_1\), проведенную к ней:
\(S = a \cdot h_1\)
\(30 = a \cdot 7,5\)
\(a = \frac{30}{7,5}\)
\(a = 4\) см.
2. Найдем сторону \(b\), используя площадь \(S\) и высоту \(h_2\), проведенную к ней:
\(S = b \cdot h_2\)
\(30 = b \cdot 5\)
\(b = \frac{30}{5}\)
\(b = 6\) см.
Результаты для столбца 4:
\(a = 4\) см
\(b = 6\) см
