Решение задач 26-31 по геометрии

Решение задач по геометрии. Задача 26. Дано: треугольник \(MPK\), высота \(PH = 5\sqrt{51}\), \(PM = 50\). Найти \(\cos \angle M\). Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MPH\) (угол \(H = 90^\circ\)). По теореме Пифагора: \[MH^2 = PM^2 - PH^2\] \[MH^2 = 50^2 - (5\sqrt{51})^2 = 2500 - 25 \cdot 51 = 2500 - 1275 = 1225\] \[MH = \sqrt{1225} = 35\] По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: \[\cos \angle M = \frac{MH}{PM} = \frac{35}{50} = 0,7\] Ответ: 0,7. Задача 27. Дано: треугольник \(MPK\), \(MR = PK\), высота \(MH\) делит \(PK\) на \(PH = 8\) и \(HK = 8\). Найти \(\cos \angle P\). Решение: Найдем длину стороны \(PK\): \[PK = PH + HK = 8 + 8 = 16\] Так как по условию \(MR = PK\), то \(MR = 16\). (Вероятно, в условии опечатка и имелось в виду \(MP = PK\), так как точка \(R\) не обозначена. Если \(MP = PK = 16\)): Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MPH\). \[\cos \angle P = \frac{PH}{MP} = \frac{8}{16} = 0,5\] Ответ: 0,5. Задача 28. Дано: треугольник \(MPK\), \(\angle M = 90^\circ\), \(PM = 40\), \(\text{tg } P = 1,05\). Найти \(PK\). Решение: В прямоугольном треугольнике \(\text{tg } P = \frac{MK}{PM}\). \[MK = PM \cdot \text{tg } P = 40 \cdot 1,05 = 42\] По теореме Пифагора найдем гипотенузу \(PK\): \[PK = \sqrt{PM^2 + MK^2} = \sqrt{40^2 + 42^2} = \sqrt{1600 + 1764} = \sqrt{3364} = 58\] Ответ: 58. Задача 29. Дано: равносторонний треугольник, высота \(h = 17\sqrt{3}\). Найти периметр. Решение: Формула высоты равностороннего треугольника через его сторону \(a\): \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] Подставим значение: \[17\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] \[17 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 34\] Периметр равностороннего треугольника: \[P = 3a = 3 \cdot 34 = 102\] Ответ: 102. Задача 30. Дано: треугольник \(MPK\), \(\angle M = 90^\circ\), \(MK = 23,4\), \(\sin \angle P = 0,9\). Найти \(PK\). Решение: В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[\sin \angle P = \frac{MK}{PK}\] \[0,9 = \frac{23,4}{PK}\] \[PK = \frac{23,4}{0,9} = 26\] Ответ: 26. Задача 31. Дано: треугольник \(MPK\), \(\angle M = 90^\circ\), \(MP = 15\), \(\cos \angle P = 0,4\). Найти \(PK\). Решение: В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \[\cos \angle P = \frac{MP}{PK}\] \[0,4 = \frac{15}{PK}\] \[PK = \frac{15}{0,4} = 37,5\] Ответ: 37,5.