Решение задачи: груз на двух пружинах

Хорошо, давайте решим эти задачи.

Задача 6. (4 балла) Груз массой 1,5 кг подвешен на двух пружинах: одна с жёсткостью \(k_1 = 200 \text{ Н/м}\) — сверху, другая с \(k_2 = 300 \text{ Н/м}\) — снизу, прикреплённая к полу. В положении равновесия обе пружины растянуты. Найдите удлинения каждой пружины. Сделайте рисунок и укажите силы.

Решение:

Дано:

• Масса груза \(m = 1,5 \text{ кг}\)
• Жёсткость верхней пружины \(k_1 = 200 \text{ Н/м}\)
• Жёсткость нижней пружины \(k_2 = 300 \text{ Н/м}\)
• Ускорение свободного падения \(g \approx 10 \text{ м/с}^2\) (примем стандартное значение, если не указано иное)

Найти:

• Удлинение верхней пружины \(\Delta x_1\)
• Удлинение нижней пружины \(\Delta x_2\)

Рисунок:

Представим груз в виде точки. Сверху к нему прикреплена пружина 1, которая тянет его вверх. Снизу к нему прикреплена пружина 2, которая тянет его вниз (поскольку она растянута и прикреплена к полу). На груз также действует сила тяжести, направленная вниз.

      /\
     /  \
    |    |  Пружина 1 (k1)
    |    |  Сила упругости F_упр1 (вверх)
     \  /
      \/
      |
      O  (Груз m)
      |  Сила тяжести mg (вниз)
      |
      /\
     /  \
    |    |  Пружина 2 (k2)
    |    |  Сила упругости F_упр2 (вниз)
     \  /
      \/
      |
     --- (Пол)
    

Анализ сил:

На груз действуют три силы:

1. Сила тяжести \(F_т = mg\), направленная вниз.
2. Сила упругости верхней пружины \(F_{упр1} = k_1 \Delta x_1\), направленная вверх (так как пружина растянута и тянет груз к точке крепления).
3. Сила упругости нижней пружины \(F_{упр2} = k_2 \Delta x_2\), направленная вниз (так как пружина растянута и тянет груз к полу).

В положении равновесия сумма всех сил, действующих на груз, равна нулю (по первому закону Ньютона).

Выберем ось Y, направленную вертикально вверх.

Уравнение равновесия в проекции на ось Y:

\[F_{упр1} - F_т - F_{упр2} = 0\] \[k_1 \Delta x_1 - mg - k_2 \Delta x_2 = 0\] \[k_1 \Delta x_1 = mg + k_2 \Delta x_2 \quad (1)\]

Мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными (\(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\)). Это означает, что для однозначного решения задачи нам не хватает информации. Возможно, в условии задачи есть неточность или подразумевается, что пружины соединены последовательно или параллельно, но формулировка "подвешен на двух пружинах" и "одна сверху, другая снизу" не даёт однозначного ответа о типе соединения, если груз находится между ними. Однако, если груз подвешен на верхней пружине, а нижняя пружина прикреплена к грузу и к полу, то это именно та схема, которую я описал.

Давайте перечитаем условие: "В положении равновесия обе пружины растянуты". Это ключевой момент. Если верхняя пружина растянута, она тянет груз вверх. Если нижняя пружина растянута, она тянет груз вниз (к полу). Это подтверждает нашу схему сил.

Возможно, задача подразумевает, что груз находится между двумя пружинами, и обе они растянуты. В таком случае, если груз находится в равновесии, то силы, действующие на него, должны быть сбалансированы.

Давайте предположим, что груз находится между двумя пружинами, и обе они растянуты. Верхняя пружина тянет груз вверх. Нижняя пружина тянет груз вниз. Сила тяжести тянет груз вниз.

Тогда уравнение равновесия будет:

\[F_{упр1} - F_т - F_{упр2} = 0\] \[k_1 \Delta x_1 - mg - k_2 \Delta x_2 = 0\]

Это всё ещё одно уравнение с двумя неизвестными. Для решения такой системы обычно требуется дополнительное условие, например, что груз находится на определённой высоте, или что пружины имеют одинаковое удлинение, или что они соединены каким-то специфическим образом.

Если задача сформулирована именно так, как написано, то она имеет бесконечное множество решений для \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\), удовлетворяющих этому уравнению. Возможно, есть опечатка в условии или пропущено какое-то дополнительное условие.

Однако, если предположить, что груз находится на некоторой высоте, и обе пружины растянуты, то это уравнение является единственным, которое можно составить из условия равновесия.

Давайте проверим, нет ли здесь какого-то стандартного подхода к таким задачам. Если груз подвешен на двух пружинах, это может означать, что они соединены параллельно или последовательно. Но формулировка "одна сверху, другая снизу" исключает простое параллельное или последовательное соединение в классическом смысле, где груз висит на одной точке крепления.

Если бы пружины были соединены последовательно, то удлинение было бы общим, а силы упругости одинаковыми. Если бы они были параллельно, то удлинения были бы одинаковыми, а силы упругости складывались.

В данном случае, груз находится между пружинами. Это означает, что каждая пружина имеет своё удлинение. Единственное, что мы можем точно сказать, это что сумма сил равна нулю.

Давайте ещё раз внимательно прочитаем: "Груз массой 1,5 кг подвешен на двух пружинах: одна с жёсткостью \(k_1 = 200 \text{ Н/м}\) — сверху, другая с \(k_2 = 300 \text{ Н/м}\) — снизу, прикреплённая к полу."

Это означает, что верхняя пружина прикреплена к потолку (или какой-то опоре) и к грузу. Нижняя пружина прикреплена к грузу и к полу.

В таком случае, уравнение равновесия, которое мы составили, является верным:

\[k_1 \Delta x_1 - mg - k_2 \Delta x_2 = 0\]

Если нет дополнительной информации, то задача не имеет единственного решения. Возможно, в условии задачи подразумевается, что груз находится в таком положении, что одна из пружин сжата, а другая растянута, но условие говорит "обе пружины растянуты".

Давайте предположим, что это задача из раздела "Системы пружин", и есть какой-то скрытый смысл. Но по прямому прочтению, это просто равновесие сил.

Если бы груз был подвешен на одной пружине, то \(k \Delta x = mg\). Если бы груз был подвешен на двух пружинах, соединенных параллельно, то \((k_1 + k_2) \Delta x = mg\). Если бы груз был подвешен на двух пружинах, соединенных последовательно, то \(F = mg\), и \(\Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2\), где \(F = k_1 \Delta x_1 = k_2 \Delta x_2\).

Но здесь ситуация другая. Груз находится между двумя пружинами. Сила тяжести \(F_т = mg = 1,5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 15 \text{ Н}\).

Тогда уравнение равновесия:

\[200 \text{ Н/м} \cdot \Delta x_1 - 15 \text{ Н} - 300 \text{ Н/м} \cdot \Delta x_2 = 0\] \[200 \Delta x_1 - 300 \Delta x_2 = 15\]

Это линейное уравнение с двумя переменными. Без дополнительного условия его решить невозможно. Возможно, в задаче есть опечатка, и одна из пружин сжата, а не растянута. Если бы, например, нижняя пружина была сжата, то она бы толкала груз вверх. Но условие чётко говорит: "обе пружины растянуты".

Если это задача для школьника, то, скорее всего, есть какое-то упрощение или стандартное допущение, которое я упускаю. Иногда в таких задачах подразумевается, что груз находится в некотором "нулевом" положении, и удлинения отсчитываются от этого положения. Но здесь сказано "в положении равновесия".

Давайте предположим, что задача имеет единственное решение, и я должен его найти. Единственный способ получить единственное решение из этого уравнения - это если \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) как-то связаны. Например, если бы груз был прикреплен к одной пружине, а та, в свою очередь, к другой. Но это не "одна сверху, другая снизу".

Я вынужден констатировать, что при данной формулировке задача 6 не имеет единственного решения для \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\).

Однако, если бы задача была сформулирована так, что груз подвешен на одной пружине, а к нему снизу прикреплена другая пружина, которая тянет его вниз, то это было бы то же самое уравнение. Если бы груз был подвешен на одной пружине, а к нему снизу прикреплена другая пружина, которая толкает его вверх (т.е. сжата), то уравнение было бы \(k_1 \Delta x_1 - mg + k_2 \Delta x_2 = 0\).

Поскольку условие "обе пружины растянуты" является ключевым, и оно приводит к уравнению \(k_1 \Delta x_1 - mg - k_2 \Delta x_2 = 0\), я не могу найти единственное решение. Возможно, в условии задачи есть ошибка или пропущено дополнительное условие, например, что груз находится на определенной высоте, или что пружины имеют одинаковую начальную длину, или что их суммарное удлинение равно чему-то.

Если бы это была задача на "эквивалентную жесткость", то это было бы другое дело. Но здесь груз находится между пружинами.

Я могу только выразить одно удлинение через другое:

\[\Delta x_1 = \frac{15 + 300 \Delta x_2}{200} = 0,075 + 1,5 \Delta x_2\] или \[\Delta x_2 = \frac{200 \Delta x_1 - 15}{300} = \frac{2}{3} \Delta x_1 - 0,05\]

Без дополнительной информации, это всё, что можно получить. Если бы, например, груз был прикреплен к верхней пружине, а нижняя пружина была прикреплена к грузу и к полу, и она была бы сжата, то она бы толкала груз вверх. Но она растянута.

Я предполагаю, что в условии задачи есть ошибка или неполнота. Если бы это была задача, где груз висит на одной пружине, а к нему снизу прикреплена другая пружина, которая тянет его вниз, то это было бы то же самое уравнение. Если бы груз был подвешен на одной пружине, а к нему снизу прикреплена другая пружина, которая толкает его вверх (т.е. сжата), то уравнение было бы \(k_1 \Delta x_1 - mg + k_2 \Delta x_2 = 0\).

Давайте ещё раз подумаем. Может быть, "подвешен на двух пружинах" означает, что они соединены параллельно, но тогда они должны быть прикреплены к одной точке груза. А "одна сверху, другая снизу" противоречит этому.

Если это задача из школьного курса, то, скорее всего, есть какое-то стандартное допущение. Например, если бы груз был подвешен на одной пружине, а к нему снизу прикреплена другая пружина, которая тянет его вниз, то это было бы то же самое уравнение. Если бы груз был подвешен на одной пружине, а к нему снизу прикреплена другая пружина, которая толкает его вверх (т.е. сжата), то уравнение было бы \(k_1 \Delta x_1 - mg + k_2 \Delta x_2 = 0\).

Я вынужден констатировать, что при данной формулировке задача 6 не имеет единственного решения для \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\).

Если бы задача была, например, такой: "Груз массой 1,5 кг подвешен на пружине с жёсткостью \(k_1 = 200 \text{ Н/м}\). К грузу снизу прикреплена пружина с жёсткостью \(k_2 = 300 \text{ Н/м}\), которая прикреплена к полу и растянута на \(\Delta x_2\). Найти \(\Delta x_1\)." Тогда бы мы могли решить. Но здесь обе \(\Delta x\) неизвестны.

Возможно, в условии задачи есть опечатка, и одна из пружин сжата, а не растянута. Если бы, например, нижняя пружина была сжата, то она бы толкала груз вверх. Но условие чётко говорит: "обе пружины растянуты".

Я не могу дать единственного числового ответа для \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) при данной формулировке задачи.

---

Задача 7. (4 балла) На гладкой горизонтальной поверхности лежит брусок. К нему прикреплена горизонтальная пружина, другой конец которой тянут с ускорением \(a = 2 \text{ м/с}^2\). Масса бруска \(m = 1 \text{ кг}\), жёсткость пружины \(k = 100 \text{ Н/м}\).

а) Найдите удлинение пружины.

б) Какой закон Ньютона лежит в основе решения? Обоснуйте выбор.

Решение:

Дано:

• Масса бруска \(m = 1 \text{ кг}\)
• Жёсткость пружины \(k = 100 \text{ Н/м}\)
• Ускорение \(a = 2 \text{ м/с}^2\)

Найти:

• а) Удлинение пружины \(\Delta x\)
• б) Закон Ньютона, лежащий в основе решения

а) Найдите удлинение пружины.

Рисунок:

Представим брусок на горизонтальной поверхности. К нему прикреплена пружина, которая тянет его в горизонтальном направлении. Поскольку поверхность гладкая, сила трения отсутствует.

    ------------------------------------ (Гладкая горизонтальная поверхность)
    |
    |  <--- F_упр (сила упругости)
    |
    |  [Брусок m] ---- Пружина ----> (Тянут с ускорением a)
    |
    |  ^ F_N (сила нормальной реакции опоры)
    |  |
    |  v mg (сила тяжести)