Решение задачи: Определение типа кривой 9x² - 4y² - 90x - 8y + 185 = 0

Хорошо, давайте решим эти задачи. Судя по надписи "I вар. -> Пост. линия", это, скорее всего, задания на определение типа кривой второго порядка и, возможно, приведение её к каноническому виду. Задание: Определить тип кривой, заданной уравнением.
1. Уравнение: \(9x^2 - 4y^2 - 90x - 8y + 185 = 0\) Решение: Сгруппируем члены с \(x\) и \(y\): \((9x^2 - 90x) - (4y^2 + 8y) + 185 = 0\) Вынесем коэффициенты при квадратах: \(9(x^2 - 10x) - 4(y^2 + 2y) + 185 = 0\) Дополним до полных квадратов: Для \(x^2 - 10x\): \((x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25\), значит, нужно добавить и вычесть \(9 \cdot 25 = 225\). Для \(y^2 + 2y\): \((y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1\), значит, нужно добавить и вычесть \(4 \cdot 1 = 4\). Подставляем: \(9((x - 5)^2 - 25) - 4((y + 1)^2 - 1) + 185 = 0\) \(9(x - 5)^2 - 9 \cdot 25 - 4(y + 1)^2 - 4 \cdot (-1) + 185 = 0\) \(9(x - 5)^2 - 225 - 4(y + 1)^2 + 4 + 185 = 0\) \(9(x - 5)^2 - 4(y + 1)^2 - 225 + 4 + 185 = 0\) \(9(x - 5)^2 - 4(y + 1)^2 - 36 = 0\) Перенесем константу в правую часть: \(9(x - 5)^2 - 4(y + 1)^2 = 36\) Разделим все на 36: \[\frac{9(x - 5)^2}{36} - \frac{4(y + 1)^2}{36} = \frac{36}{36}\] \[\frac{(x - 5)^2}{4} - \frac{(y + 1)^2}{9} = 1\] Это уравнение гиперболы. Центр гиперболы находится в точке \((5; -1)\). Действительная полуось \(a = \sqrt{4} = 2\). Мнимая полуось \(b = \sqrt{9} = 3\). Ответ: Гипербола.
2. Уравнение: \(6x^2 + 2\sqrt{5}xy + 2y^2 = 21\) Решение: Это уравнение кривой второго порядка с членом \(xy\), что означает, что оси кривой повернуты относительно координатных осей. Общий вид уравнения кривой второго порядка: \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\). В нашем случае: \(A = 6\), \(B = 2\sqrt{5}\), \(C = 2\), \(D = 0\), \(E = 0\), \(F = -21\). Для определения типа кривой используем дискриминант: \(\Delta = B^2 - 4AC\). \(\Delta = (2\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2\) \(\Delta = (4 \cdot 5) - 48\) \(\Delta = 20 - 48\) \(\Delta = -28\) Поскольку \(\Delta < 0\), это уравнение эллиптического типа. Так как в уравнении нет линейных членов \(Dx\) и \(Ey\), и правая часть не равна нулю, это эллипс. Если бы правая часть была равна нулю, это была бы точка (вырожденный эллипс). Ответ: Эллипс.
3. Уравнение: \(y^2 + x^2 + xy - x - 2y - 7 = 0\) Решение: Перепишем в стандартном порядке: \(x^2 + xy + y^2 - x - 2y - 7 = 0\). Здесь: \(A = 1\), \(B = 1\), \(C = 1\), \(D = -1\), \(E = -2\), \(F = -7\). Вычислим дискриминант: \(\Delta = B^2 - 4AC\). \(\Delta = (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1\) \(\Delta = 1 - 4\) \(\Delta = -3\) Поскольку \(\Delta < 0\), это уравнение эллиптического типа. Так как есть линейные члены и константа, это эллипс. Ответ: Эллипс.
4. Уравнение: \(x^2 + 2y^2 - 4x + 16y = 0\) Решение: Сгруппируем члены с \(x\) и \(y\): \((x^2 - 4x) + (2y^2 + 16y) = 0\) Вынесем коэффициент при \(y^2\): \((x^2 - 4x) + 2(y^2 + 8y) = 0\) Дополним до полных квадратов: Для \(x^2 - 4x\): \((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\), значит, нужно добавить и вычесть 4. Для \(y^2 + 8y\): \((y + 4)^2 = y^2 + 8y + 16\), значит, нужно добавить и вычесть \(2 \cdot 16 = 32\). Подставляем: \(((x - 2)^2 - 4) + 2((y + 4)^2 - 16) = 0\) \((x - 2)^2 - 4 + 2(y + 4)^2 - 2 \cdot 16 = 0\) \((x - 2)^2 - 4 + 2(y + 4)^2 - 32 = 0\) \((x - 2)^2 + 2(y + 4)^2 - 36 = 0\) Перенесем константу в правую часть: \((x - 2)^2 + 2(y + 4)^2 = 36\) Разделим все на 36: \[\frac{(x - 2)^2}{36} + \frac{2(y + 4)^2}{36} = \frac{36}{36}\] \[\frac{(x - 2)^2}{36} + \frac{(y + 4)^2}{18} = 1\] Это уравнение эллипса. Центр эллипса находится в точке \((2; -4)\). Большая полуось \(a = \sqrt{36} = 6\). Малая полуось \(b = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Ответ: Эллипс.
5. Уравнение: \(4y = -6 - \sqrt{4x - x^2}\) Решение: Сначала изолируем корень: \(4y + 6 = -\sqrt{4x - x^2}\) Для того чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(4x - x^2 \ge 0\) \(x(4 - x) \ge 0\) Это выполняется при \(0 \le x \le 4\). Также, правая часть \((-\sqrt{4x - x^2})\) всегда неположительна. Значит, левая часть тоже должна быть неположительной: \(4y + 6 \le 0\) \(4y \le -6\) \(y \le -\frac{6}{4}\) \(y \le -\frac{3}{2}\) Возведем обе части уравнения в квадрат: \((4y + 6)^2 = (-\sqrt{4x - x^2})^2\) \((4y + 6)^2 = 4x - x^2\) Перенесем все члены с \(x\) в левую часть: \((4y + 6)^2 = -(x^2 - 4x)\) Дополним до полного квадрата для \(x\): \(x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4\) Подставляем: \((4y + 6)^2 = -((x - 2)^2 - 4)\) \((4y + 6)^2 = -(x - 2)^2 + 4\) Перенесем \(-(x - 2)^2\) в левую часть: \((x - 2)^2 + (4y + 6)^2 = 4\) Вынесем 4 из скобки \((4y + 6)\): \((4y + 6)^2 = (4(y + \frac{6}{4}))^2 = (4(y + \frac{3}{2}))^2 = 16(y + \frac{3}{2})^2\) Подставляем обратно: \((x - 2)^2 + 16(y + \frac{3}{2})^2 = 4\) Разделим все на 4: \[\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{16(y + \frac{3}{2})^2}{4} = \frac{4}{4}\] \[\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y + \frac{3}{2})^2}{\frac{1}{4}} = 1\] Это уравнение эллипса. Центр эллипса находится в точке \((2; -\frac{3}{2})\). Большая полуось \(a = \sqrt{4} = 2\). Малая полуось \(b = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\). Однако, мы должны учесть условия, которые мы наложили в начале: \(0 \le x \le 4\) и \(y \le -\frac{3}{2}\). Условие \(0 \le x \le 4\) соответствует области определения эллипса по \(x\), так как центр \(x=2\) и полуось \(a=2\), то \(2-2 \le x \le 2+2\), то есть \(0 \le x \le 4\). Условие \(y \le -\frac{3}{2}\) означает, что мы рассматриваем только нижнюю половину эллипса, так как центр \(y = -\frac{3}{2}\) и полуось \(b = \frac{1}{2}\). Таким образом, это нижняя полуокружность эллипса. Ответ: Нижняя половина эллипса.