Решение задач по геометрии 9 класс: синус и тангенс

Ниже представлены решения задач с изображения, оформленные для записи в тетрадь. Задача 21. Найдите синус угла АОВ, изображённого на рисунке. Решение: Достроим угол до прямоугольного треугольника ОАВ. По клеткам видно, что катет \( AB = 3 \), катет \( OA = 4 \). Найдем гипотенузу \( OB \) по теореме Пифагора: \[ OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: \[ \sin \angle AOB = \frac{AB}{OB} = \frac{3}{5} = 0,6 \] Ответ: 0,6. Задача 22. Найдите тангенс угла АВС, изображённого на рисунке. Решение: Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из рисунка (достроив до треугольника АВС с прямым углом А): Катет \( AC = 3 \) клетки, катет \( AB = 4 \) клетки. \[ \text{tg} \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4} = 0,75 \] Ответ: 0,75. Задача 23. Найдите косинус угла МРК, изображённого на рисунке. Решение: Достроим прямоугольный треугольник МРК с прямым углом К. По клеткам: \( MK = 4 \), \( PK = 3 \). Найдем гипотенузу \( MP \): \[ MP = \sqrt{MK^2 + PK^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \] Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: \[ \cos \angle MPK = \frac{PK}{MP} = \frac{3}{5} = 0,6 \] Ответ: 0,6. Задача 24. Найдите тангенс угла МОD, изображённого на рисунке. Решение: Угол МОD тупой. Тангенс тупого угла равен тангенсу смежного с ним острого угла, взятому с противоположным знаком. Смежный острый угол имеет катеты (по клеткам): противолежащий \( 4 \), прилежащий \( 2 \). Тангенс острого угла: \( \frac{4}{2} = 2 \). Тогда \( \text{tg} \angle MOD = -2 \). Ответ: -2. Задача 25. Катеты прямоугольного треугольника равны 48 и 14. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника. Решение: Наименьший угол лежит против меньшего катета (14). Пусть это угол \( \alpha \). Найдем гипотенузу \( c \): \[ c = \sqrt{48^2 + 14^2} = \sqrt{2304 + 196} = \sqrt{2500} = 50 \] Синус наименьшего угла: \[ \sin \alpha = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} = 0,28 \] Ответ: 0,28. Задача 32. Один из углов ромба равен 110 градусов. Найдите угол между диагональю и стороной ромба. В ответе укажите меньший из них. Решение: Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Если один угол \( 110^\circ \), то второй угол ромба равен \( 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \). Диагонали делят эти углы пополам: \( 110^\circ : 2 = 55^\circ \) \( 70^\circ : 2 = 35^\circ \) Меньший угол между диагональю и стороной равен \( 35^\circ \). Ответ: 35. Задача 33. Один из углов, образованных диагональю ромба и его стороной, равен 43 градуса. Найдите больший угол ромба. Решение: Диагональ ромба делит его угол пополам. Значит, один из углов ромба равен \( 43^\circ \cdot 2 = 86^\circ \). Сумма соседних углов ромба равна \( 180^\circ \). Больший угол ромба равен: \( 180^\circ - 86^\circ = 94^\circ \). Ответ: 94. Задача 34. Сторона ромба равна его диагонали. Найдите больший угол ромба. Решение: Если сторона ромба равна диагонали, то ромб делится этой диагональю на два равносторонних треугольника. Углы равностороннего треугольника равны \( 60^\circ \). Значит, острый угол ромба равен \( 60^\circ \), а тупой (больший) угол равен \( 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \). Ответ: 120.