Решение задачи по геометрии: Окружность и диаметр

Хорошо, давайте решим эти задачи. Задача 1. Окружность задана уравнением \( (x + 3)^2 + y^2 = 9 \). Является ли отрезок \( MH \), где \( M(-1; \sqrt{5}) \) и \( H(-5; -\sqrt{5}) \), диаметром этой окружности? Решение: Сначала определим центр и радиус заданной окружности. Уравнение окружности в общем виде: \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \), где \( (a; b) \) - координаты центра, а \( R \) - радиус. Из уравнения \( (x + 3)^2 + y^2 = 9 \) получаем: Центр окружности \( O_c(-3; 0) \). Радиус окружности \( R^2 = 9 \), значит \( R = \sqrt{9} = 3 \). Теперь проверим, является ли отрезок \( MH \) диаметром этой окружности. Для этого должны выполняться два условия: 1. Середина отрезка \( MH \) должна совпадать с центром окружности \( O_c(-3; 0) \). 2. Длина отрезка \( MH \) должна быть равна двум радиусам окружности, то есть \( 2R = 2 \cdot 3 = 6 \). Проверим первое условие. Найдем координаты середины отрезка \( MH \). Пусть \( M(x_1; y_1) = (-1; \sqrt{5}) \) и \( H(x_2; y_2) = (-5; -\sqrt{5}) \). Координаты середины \( S \) отрезка \( MH \) вычисляются по формулам: \( x_S = \frac{x_1 + x_2}{2} \) \( y_S = \frac{y_1 + y_2}{2} \) Подставим значения: \( x_S = \frac{-1 + (-5)}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) \( y_S = \frac{\sqrt{5} + (-\sqrt{5})}{2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{5}}{2} = \frac{0}{2} = 0 \) Середина отрезка \( MH \) имеет координаты \( S(-3; 0) \). Эти координаты совпадают с координатами центра окружности \( O_c(-3; 0) \). Значит, первое условие выполняется. Проверим второе условие. Найдем длину отрезка \( MH \). Длина отрезка между двумя точками \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \) вычисляется по формуле: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) Подставим значения для \( M(-1; \sqrt{5}) \) и \( H(-5; -\sqrt{5}) \): \( MH = \sqrt{(-5 - (-1))^2 + (-\sqrt{5} - \sqrt{5})^2} \) \( MH = \sqrt{(-5 + 1)^2 + (-2\sqrt{5})^2} \) \( MH = \sqrt{(-4)^2 + (4 \cdot 5)} \) \( MH = \sqrt{16 + 20} \) \( MH = \sqrt{36} \) \( MH = 6 \) Длина отрезка \( MH \) равна 6. Диаметр окружности равен \( 2R = 2 \cdot 3 = 6 \). Длина отрезка \( MH \) равна диаметру окружности. Значит, второе условие также выполняется. Поскольку оба условия выполнены, отрезок \( MH \) является диаметром данной окружности. Ответ: Да, отрезок \( MH \) является диаметром этой окружности. Задача 2. На рисунке 20 окружность касается оси \( Oy \) в точке \( K \), а луча \( OE \) в точке \( P \). Угол \( \angle KOP = 60^\circ \). \( KP = 2\sqrt{3} \). Напишите уравнение этой окружности. Решение: Пусть центр окружности \( O_1 \) имеет координаты \( (a; b) \), а радиус окружности равен \( R \). Уравнение окружности будет иметь вид \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \). 1. Окружность касается оси \( Oy \) в точке \( K \). Это означает, что радиус, проведенный в точку касания \( K \), перпендикулярен оси \( Oy \). Следовательно, координата \( x \) центра окружности \( O_1 \) равна радиусу \( R \). То есть \( a = R \). Точка касания \( K \) лежит на оси \( Oy \), поэтому ее координата \( x \) равна 0. Координаты точки \( K \) будут \( (0; b) \). Расстояние от центра \( O_1(R; b) \) до оси \( Oy \) (то есть до прямой \( x=0 \)) равно \( R \). 2. Окружность касается луча \( OE \) в точке \( P \). Луч \( OE \) проходит через начало координат \( O(0;0) \). Угол \( \angle KOP = 60^\circ \). Точка \( K \) лежит на оси \( Oy \). Значит, угол между осью \( Oy \) и лучом \( OE \) равен \( 60^\circ \). В прямоугольной системе координат, ось \( Oy \) - это положительная часть оси \( y \). Угол \( \angle KOP \) - это угол между отрезком \( OK \) (часть оси \( Oy \)) и отрезком \( OP \) (часть луча \( OE \)). Если \( K \) лежит на оси \( Oy \), то луч \( OE \) образует угол \( 60^\circ \) с осью \( Oy \). Угол между лучом \( OE \) и положительной осью \( Ox \) будет \( 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \). Уравнение прямой \( OE \) (касательной) можно записать как \( y = (\tan 30^\circ) x \) или \( y = \frac{1}{\sqrt{3}} x \), или \( x - \sqrt{3}y = 0 \). 3. Рассмотрим треугольник \( O_1KO \). \( O_1K \) - это радиус, перпендикулярный оси \( Oy \). Значит, \( \angle O_1KO = 90^\circ \). \( O_1K = R \). Координаты \( O_1(R; b) \), \( K(0; b) \), \( O(0; 0) \). Длина отрезка \( OK \) равна \( |b| \). Из рисунка видно, что \( b > 0 \), поэтому \( OK = b \). В прямоугольном треугольнике \( O_1KO \): \( OO_1^2 = OK^2 + O_1K^2 = b^2 + R^2 \). 4. Рассмотрим треугольник \( O_1PO \). \( O_1P \) - это радиус, перпендикулярный касательной \( OE \). Значит, \( \angle O_1PO = 90^\circ \). \( O_1P = R \). В прямоугольном треугольнике \( O_1PO \): \( OO_1^2 = OP^2 + O_1P^2 = OP^2 + R^2 \). Из этого следует, что \( OP = OK = b \). Значит, треугольник \( O_1KO \) и \( O_1PO \) равны по гипотенузе и катету (\( OO_1 \) - общая гипотенуза, \( O_1K = O_1P = R \)). Следовательно, \( \angle KO_1O = \angle PO_1O \). Также \( \angle KOO_1 = \angle POO_1 \). Поскольку \( \angle KOP = 60^\circ \), то \( \angle KOO_1 = \frac{1}{2} \angle KOP = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ \). 5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( O_1KO \). У нас есть \( \angle KOO_1 = 30^\circ \). \( O_1K = R \) (противолежащий катет к углу \( 30^\circ \)). \( OK = b \) (прилежащий катет к углу \( 30^\circ \)). Из тригонометрических соотношений: \( \tan(\angle KOO_1) = \frac{O_1K}{OK} \) \( \tan(30^\circ) = \frac{R}{b} \) Мы знаем, что \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Значит, \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{b} \), откуда \( b = R\sqrt{3} \). 6. Нам дано, что \( KP = 2\sqrt{3} \). \( KP \) - это хорда, соединяющая точки касания. Рассмотрим треугольник \( KOP \). Он равнобедренный, так как \( OK = OP = b \). Угол при вершине \( O \) равен \( 60^\circ \). Если в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен \( 60^\circ \), то этот треугольник является равносторонним. Значит, \( KP = OK = OP = b \). Из условия \( KP = 2\sqrt{3} \), получаем \( b = 2\sqrt{3} \). 7. Теперь мы можем найти \( R \). Мы нашли, что \( b = R\sqrt{3} \). Подставим значение \( b = 2\sqrt{3} \): \( 2\sqrt{3} = R\sqrt{3} \) Разделим обе части на \( \sqrt{3} \): \( R = 2 \). 8. Мы нашли радиус \( R = 2 \) и координату \( b = 2\sqrt{3} \). Координата \( a \) центра окружности равна \( R \), то есть \( a = 2 \). Таким образом, центр окружности \( O_1 \) имеет координаты \( (2; 2\sqrt{3}) \). Радиус окружности \( R = 2 \). 9. Запишем уравнение окружности: \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \) \( (x - 2)^2 + (y - 2\sqrt{3})^2 = 2^2 \) \( (x - 2)^2 + (y - 2\sqrt{3})^2 = 4 \) Ответ: Уравнение окружности: \( (x - 2)^2 + (y - 2\sqrt{3})^2 = 4 \).