Решение задач по химии и физике. Вариант 1

Вот решения задач, оформленные так, чтобы школьнику было удобно переписать их в тетрадь. Вариант 1. Итог.контр.раб. для ин.ст. 1 Курс 1 семестр 1. Тело начинает двигаться по прямой со скоростью \(v_0=5\) м/с и через время \(t=1,25\) с останавливается. Чему равно ускорение тела, какое расстояние оно пройдет до остановки? Дано: Начальная скорость: \(v_0 = 5\) м/с Конечная скорость: \(v = 0\) м/с (тело останавливается) Время: \(t = 1,25\) с Найти: Ускорение: \(a\) Расстояние: \(S\) Решение: Шаг 1. Найдем ускорение тела. Для равномерно замедленного движения (или равноускоренного, если ускорение отрицательное) формула для конечной скорости выглядит так: \[v = v_0 + at\] Так как тело останавливается, \(v = 0\). Подставим известные значения: \[0 = 5 \text{ м/с} + a \cdot 1,25 \text{ с}\] Выразим ускорение \(a\): \[a \cdot 1,25 \text{ с} = -5 \text{ м/с}\] \[a = \frac{-5 \text{ м/с}}{1,25 \text{ с}}\] \[a = -4 \text{ м/с}^2\] Отрицательный знак ускорения означает, что тело замедляется. Шаг 2. Найдем расстояние, которое тело пройдет до остановки. Для этого можно использовать формулу: \[S = v_0 t + \frac{at^2}{2}\] Подставим известные значения: \[S = (5 \text{ м/с}) \cdot (1,25 \text{ с}) + \frac{(-4 \text{ м/с}^2) \cdot (1,25 \text{ с})^2}{2}\] \[S = 6,25 \text{ м} + \frac{(-4 \text{ м/с}^2) \cdot (1,5625 \text{ с}^2)}{2}\] \[S = 6,25 \text{ м} + \frac{-6,25 \text{ м}}{2}\] \[S = 6,25 \text{ м} - 3,125 \text{ м}\] \[S = 3,125 \text{ м}\] Можно также использовать другую формулу, которая не зависит от времени: \[v^2 = v_0^2 + 2aS\] Так как \(v = 0\): \[0^2 = (5 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot (-4 \text{ м/с}^2) \cdot S\] \[0 = 25 \text{ м}^2/\text{с}^2 - 8 \text{ м/с}^2 \cdot S\] \[8 \text{ м/с}^2 \cdot S = 25 \text{ м}^2/\text{с}^2\] \[S = \frac{25 \text{ м}^2/\text{с}^2}{8 \text{ м/с}^2}\] \[S = 3,125 \text{ м}\] Ответ: Ускорение тела равно \(-4\) м/с\(^2\). Расстояние, которое тело пройдет до остановки, равно \(3,125\) м. 2. Шар массой \(m_1=300\) г движется со скоростью \(v_1=6\) м/с по прямой и сталкивается с покоящимся шаром массой \(m_2=100\) г. Чему равна скорость шаров после абсолютно неупругого соударения? Дано: Масса первого шара: \(m_1 = 300\) г \( = 0,3\) кг Скорость первого шара до соударения: \(v_1 = 6\) м/с Масса второго шара: \(m_2 = 100\) г \( = 0,1\) кг Скорость второго шара до соударения: \(v_2 = 0\) м/с (покоящийся шар) Тип соударения: абсолютно неупругое Найти: Скорость шаров после соударения: \(v'\) Решение: Шаг 1. Переведем массы в единицы СИ (килограммы). \(m_1 = 300\) г \( = 0,3\) кг \(m_2 = 100\) г \( = 0,1\) кг Шаг 2. Применим закон сохранения импульса. При абсолютно неупругом соударении шары после столкновения движутся как единое целое с общей скоростью \(v'\). Закон сохранения импульса гласит, что суммарный импульс системы до соударения равен суммарному импульсу системы после соударения. Импульс до соударения: \(P_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2\) Импульс после соударения: \(P_{после} = (m_1 + m_2) v'\) Так как \(P_{до} = P_{после}\): \[m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v'\] Шаг 3. Подставим известные значения и найдем \(v'\). \[(0,3 \text{ кг}) \cdot (6 \text{ м/с}) + (0,1 \text{ кг}) \cdot (0 \text{ м/с}) = (0,3 \text{ кг} + 0,1 \text{ кг}) \cdot v'\] \[1,8 \text{ кг} \cdot \text{м/с} + 0 = (0,4 \text{ кг}) \cdot v'\] \[1,8 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = (0,4 \text{ кг}) \cdot v'\] \[v' = \frac{1,8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0,4 \text{ кг}}\] \[v' = 4,5 \text{ м/с}\] Ответ: Скорость шаров после абсолютно неупругого соударения равна \(4,5\) м/с. 3. 2 моль гелия, находящегося под давлением \(p=10^5\) Па, изобарно расширяются от объема \(V_1=2\) л до объема \(V_2=3\) л. Чему равно изменение внутренней энергии \(\Delta U\) газа? Какую работу \(A\) совершил газ при расширении? Какое количество теплоты \(Q\) сообщено газу? Дано: Количество вещества гелия: \(\nu = 2\) моль Давление: \(p = 10^5\) Па (изобарный процесс) Начальный объем: \(V_1 = 2\) л \( = 2 \cdot 10^{-3}\) м\(^3\) Конечный объем: \(V_2 = 3\) л \( = 3 \cdot 10^{-3}\) м\(^3\) Гелий - одноатомный газ. Универсальная газовая постоянная: \(R = 8,31\) Дж/(моль\( \cdot \)К) Найти: Изменение внутренней энергии: \(\Delta U\) Работа, совершенная газом: \(A\) Количество теплоты: \(Q\) Решение: Шаг 1. Переведем объемы в единицы СИ (м\(^3\)). \(V_1 = 2\) л \( = 2 \cdot 10^{-3}\) м\(^3\) \(V_2 = 3\) л \( = 3 \cdot 10^{-3}\) м\(^3\) Шаг 2. Найдем работу, совершенную газом при изобарном расширении. При изобарном процессе (постоянное давление) работа газа определяется формулой: \[A = p \cdot (V_2 - V_1)\] Подставим известные значения: \[A = (10^5 \text{ Па}) \cdot (3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3)\] \[A = (10^5 \text{ Па}) \cdot (1 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3)\] \[A = 100 \text{ Дж}\] Шаг 3. Найдем изменение внутренней энергии гелия. Гелий - одноатомный газ, поэтому его внутренняя энергия определяется формулой: \[U = \frac{3}{2} \nu R T\] Изменение внутренней энергии: \[\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T\] Для изобарного процесса, используя уравнение Менделеева-Клапейрона \(pV = \nu RT\), мы можем выразить \(\nu R \Delta T\) как \(p \Delta V\): \[p V_1 = \nu R T_1\] \[p V_2 = \nu R T_2\] Вычтем первое уравнение из второго: \[p V_2 - p V_1 = \nu R T_2 - \nu R T_1\] \[p (V_2 - V_1) = \nu R (T_2 - T_1)\] \[p \Delta V = \nu R \Delta T\] Таким образом, \(\Delta U\) можно записать как: \[\Delta U = \frac{3}{2} p (V_2 - V_1)\] Мы уже вычислили \(p (V_2 - V_1)\) как работу \(A\). \[\Delta U = \frac{3}{2} A\] \[\Delta U = \frac{3}{2} \cdot 100 \text{ Дж}\] \[\Delta U = 150 \text{ Дж}\] Шаг 4. Найдем количество теплоты, сообщенное газу. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты \(Q\), сообщенное газу, идет на изменение его внутренней энергии \(\Delta U\) и на совершение работы \(A\) газом: \[Q = \Delta U + A\] Подставим найденные значения: \[Q = 150 \text{ Дж} + 100 \text{ Дж}\] \[Q = 250 \text{ Дж}\] Ответ: Изменение внутренней энергии гелия равно \(150\) Дж. Работа, совершенная газом при расширении, равна \(100\) Дж. Количество теплоты, сообщенное газу, равно \(250\) Дж. 4. Два точечных заряда \(q_1=4\) нКл и \(q_2=-4\) нКл находятся в вакууме на расстоянии \(d=10\) см. Чему равны напряженность \(E\) и потенциал \(\varphi\) поля этих зарядов в точке, находящейся на расстоянии \(r_1=4\) см от первого и на \(r_2=6\) см от второго зарядов? \(k=9 \cdot 10^9\) Н\( \cdot \)м\(^2\)/Кл\(^2\). Дано: Заряд 1: \(q_1 = 4\) нКл \( = 4 \cdot 10^{-9}\) Кл Заряд 2: \(q_2 = -4\) нКл \( = -4 \cdot 10^{-9}\) Кл Расстояние между зарядами: \(d = 10\) см \( = 0,1\) м Расстояние от точки до первого заряда: \(r_1 = 4\) см \( = 0,04\) м Расстояние от точки до второго заряда: \(r_2 = 6\) см \( = 0,06\) м Коэффициент Кулона: \(k = 9 \cdot 10^9\) Н\( \cdot \)м\(^2\)/Кл\(^2\) Найти: Напряженность поля в точке: \(E\) Потенциал поля в точке: \(\varphi\) Решение: Шаг 1. Переведем все расстояния и заряды в единицы СИ. \(q_1 = 4 \cdot 10^{-9}\) Кл \(q_2 = -4 \cdot 10^{-9}\) Кл \(d = 0,1\) м \(r_1 = 0,04\) м \(r_2 = 0,06\) м Шаг 2. Определим расположение точки. Заметим, что \(r_1 + r_2 = 0,04\) м \( + 0,06\) м \( = 0,1\) м. Это равно расстоянию \(d\) между зарядами. Это означает, что точка находится на прямой, соединяющей заряды, между ними. Шаг 3. Найдем потенциал \(\varphi\) поля в заданной точке. Потенциал электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Формула для потенциала точечного заряда: \(\varphi = k \frac{q}{r}\) \[\varphi = \varphi_1 + \varphi_2\] \[\varphi = k \frac{q_1}{r_1} + k \frac{q_2}{r_2}\] \[\varphi = k \left( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \right)\] Подставим известные значения: \[\varphi = (9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot \left( \frac{4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{0,04 \text{ м}} + \frac{-4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{0,06 \text{ м}} \right)\] \[\varphi = (9 \cdot 10^9) \cdot \left( \frac{4}{0,04} \cdot 10^{-9} - \frac{4}{0,06} \cdot 10^{-9} \right)\] \[\varphi = (9 \cdot 10^9) \cdot (100 \cdot 10^{-9} - 66,666... \cdot 10^{-9})\] \[\varphi = (9 \cdot 10^9) \cdot (33,333... \cdot 10^{-9})\] \[\varphi = 9 \cdot 33,333...\] \[\varphi = 300 \text{ В}\] Шаг 4. Найдем напряженность \(E\) поля в заданной точке. Напряженность электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Формула для напряженности точечного заряда: \(E = k \frac{|q|}{r^2}\) Напряженность \(E_1\) от заряда \(q_1\) направлена от \(q_1\) (так как \(q_1\) положительный). Напряженность \(E_2\) от заряда \(q_2\) направлена к \(q_2\) (так как \(q_2\) отрицательный). Поскольку точка находится между зарядами, векторы \(E_1\) и \(E_2\) будут сонаправлены (оба направлены от \(q_1\) к \(q_2\)). Поэтому модуль результирующей напряженности будет равен сумме модулей: \[E = E_1 + E_2\] \[E = k \frac{|q_1|}{r_1^2} + k \frac{|q_2|}{r_2^2}\] \[E = k \left( \frac{|q_1|}{r_1^2} + \frac{|q_2|}{r_2^2} \right)\] Подставим известные значения: \[E = (9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot \left( \frac{|4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}|}{(0,04 \text{ м})^2} + \frac{|-4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}|}{(0,06 \text{ м})^2} \right)\] \[E = (9 \cdot 10^9) \cdot \left( \frac{4 \cdot 10^{-9}}{0,0016} + \frac{4 \cdot 10^{-9}}{0,0036} \right)\] \[E = (9 \cdot 10^9) \cdot \left( \frac{4}{0,0016} \cdot 10^{-9} + \frac{4}{0,0036} \cdot 10^{-9} \right)\] \[E = (9 \cdot 10^9) \cdot (2500 \cdot 10^{-9} + 1111,11... \cdot 10^{-9})\] \[E = (9 \cdot 10^9) \cdot (3611,11... \cdot 10^{-9})\] \[E = 9 \cdot 3611,11...\] \[E = 32500 \text{ Н/Кл}\] Ответ: Напряженность поля