Решение уравнения x = 1 - (2/3)√(4y²-5)

Хорошо, давайте решим третий пример. 3. Уравнение: \(x = 1 - \frac{2}{3}\sqrt{4y^2 - 5}\) Решение: Сначала изолируем корень. Перенесем \(1\) в левую часть и умножим на \(-\frac{3}{2}\): \(x - 1 = -\frac{2}{3}\sqrt{4y^2 - 5}\) \(-\frac{3}{2}(x - 1) = \sqrt{4y^2 - 5}\) \(\frac{3}{2}(1 - x) = \sqrt{4y^2 - 5}\) Для того чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(4y^2 - 5 \ge 0\) \(4y^2 \ge 5\) \(y^2 \ge \frac{5}{4}\) Это означает, что \(y \le -\sqrt{\frac{5}{4}}\) или \(y \ge \sqrt{\frac{5}{4}}\). То есть, \(y \le -\frac{\sqrt{5}}{2}\) или \(y \ge \frac{\sqrt{5}}{2}\). Также, правая часть \(\sqrt{4y^2 - 5}\) всегда неотрицательна. Значит, левая часть тоже должна быть неотрицательной: \(\frac{3}{2}(1 - x) \ge 0\) \(1 - x \ge 0\) \(x \le 1\) Возведем обе части уравнения в квадрат: \[\left(\frac{3}{2}(1 - x)\right)^2 = \left(\sqrt{4y^2 - 5}\right)^2\] \[\frac{9}{4}(1 - x)^2 = 4y^2 - 5\] Перенесем константу и члены с \(y\) в левую часть, а члены с \(x\) в правую, или наоборот, чтобы привести к стандартному виду. Давайте перенесем \(4y^2\) и \(5\) в левую часть: \[\frac{9}{4}(1 - x)^2 - 4y^2 + 5 = 0\] \[\frac{9}{4}(x - 1)^2 - 4y^2 + 5 = 0\] Перенесем константу в правую часть: \[\frac{9}{4}(x - 1)^2 - 4y^2 = -5\] Умножим все на \(-1\), чтобы правая часть стала положительной: \[4y^2 - \frac{9}{4}(x - 1)^2 = 5\] Разделим все на 5: \[\frac{4y^2}{5} - \frac{\frac{9}{4}(x - 1)^2}{5} = \frac{5}{5}\] \[\frac{y^2}{\frac{5}{4}} - \frac{(x - 1)^2}{\frac{20}{9}} = 1\] Это уравнение гиперболы. Центр гиперболы находится в точке \((1; 0)\). Действительная полуось \(b = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\) (вдоль оси \(y\)). Мнимая полуось \(a = \sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{\sqrt{20}}{3} = \frac{2\sqrt{5}}{3}\) (вдоль оси \(x\)). Теперь учтем условия, которые мы наложили: \(x \le 1\) и \(y \le -\frac{\sqrt{5}}{2}\) или \(y \ge \frac{\sqrt{5}}{2}\). Условие \(x \le 1\) означает, что мы рассматриваем только левую ветвь гиперболы (относительно вертикальной оси \(x=1\)). Условие \(y \le -\frac{\sqrt{5}}{2}\) или \(y \ge \frac{\sqrt{5}}{2}\) соответствует области определения гиперболы по \(y\), так как центр \(y=0\) и полуось \(b=\frac{\sqrt{5}}{2}\), то \(y \le -\frac{\sqrt{5}}{2}\) или \(y \ge \frac{\sqrt{5}}{2}\). Таким образом, это левая ветвь гиперболы. Ответ: Левая ветвь гиперболы.