Решение: ( ( ∫0∞ e-x² dx )2 ) / ( ∑n=1∞ 1/n² )

Для решения данного выражения необходимо вычислить отдельно значение интеграла в числителе и значение суммы ряда в знаменателе. 1. Вычислим интеграл Пуассона, который находится в числителе: \[ I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx \] Известно, что значение этого определенного интеграла равно: \[ I = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \] В условии задачи данный интеграл возводится в квадрат: \[ I^2 = \left( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \right)^2 = \frac{\pi}{4} \] 2. Вычислим сумму бесконечного числового ряда в знаменателе (это известная задача Базеля): \[ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \dots \] Значение этой суммы было найдено Леонардом Эйлером и равно: \[ S = \frac{\pi^2}{6} \] 3. Подставим полученные значения в исходное выражение: \[ \frac{I^2}{S} = \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi^2}{6}} \] 4. Выполним деление дробей: \[ \frac{\pi}{4} \cdot \frac{6}{\pi^2} = \frac{6\pi}{4\pi^2} \] 5. Сократим дробь на \( 2\pi \): \[ \frac{3}{2\pi} \] Ответ: \( \frac{3}{2\pi} \)