Решение задач по геометрии для 9 класса

Ниже представлено решение задач по геометрии для 9 класса, оформленное для записи в тетрадь. Задача №1 Дано: Квадрат вписан в окружность. Площадь квадрата \(S = 841\). Найти: радиус окружности \(r\). Решение: 1. Пусть \(a\) — сторона квадрата. Площадь квадрата вычисляется по формуле: \[S = a^2\] Отсюда сторона квадрата: \[a = \sqrt{S} = \sqrt{841} = 29\] 2. Для квадрата, вписанного в окружность, диаметр окружности равен диагонали квадрата \(d\). По теореме Пифагора: \[d = a\sqrt{2}\] 3. Радиус окружности \(r\) равен половине диагонали: \[r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] Подставим значение \(a\): \[r = \frac{29\sqrt{2}}{2} = 14,5\sqrt{2}\] Ответ: \(14,5\sqrt{2}\). Задача №2 Дано: Трапеция с боковыми сторонами 35 и 29, верхним основанием 20. На рисунке также указан отрезок нижнего основания длиной 28, отсекаемый высотой. Найти: площадь трапеции \(S\). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \(h\), боковой стороной 35 и отрезком основания 28. По теореме Пифагора найдем высоту \(h\): \[h^2 + 28^2 = 35^2\] \[h^2 = 1225 - 784 = 441\] \[h = \sqrt{441} = 21\] 2. Теперь найдем второй отрезок нижнего основания (пусть он равен \(x\)), который образует прямоугольный треугольник с другой боковой стороной 29 и той же высотой 21: \[x^2 + 21^2 = 29^2\] \[x^2 = 841 - 441 = 400\] \[x = \sqrt{400} = 20\] 3. Нижнее основание трапеции \(a\) состоит из трех частей: проекции боковых сторон и верхнего основания: \[a = 28 + 20 + 20 = 68\] 4. Вычислим площадь трапеции по формуле: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] где \(a = 68\), \(b = 20\), \(h = 21\). \[S = \frac{68 + 20}{2} \cdot 21 = \frac{88}{2} \cdot 21 = 44 \cdot 21 = 924\] Ответ: 924. Задача №3 Дано: Треугольник \(ABC\). Отношение углов \(\angle A : \angle B : \angle C = 3 : 5 : 7\). Найти: \(\angle A, \angle B, \angle C\). Решение: 1. Сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\). 2. Введем коэффициент пропорциональности \(k\). Тогда: \[\angle A = 3k, \quad \angle B = 5k, \quad \angle C = 7k\] 3. Составим уравнение: \[3k + 5k + 7k = 180^\circ\] \[15k = 180^\circ\] \[k = \frac{180^\circ}{15} = 12^\circ\] 4. Найдем величину каждого угла: \[\angle A = 3 \cdot 12^\circ = 36^\circ\] \[\angle B = 5 \cdot 12^\circ = 60^\circ\] \[\angle C = 7 \cdot 12^\circ = 84^\circ\] Проверка: \(36^\circ + 60^\circ + 84^\circ = 180^\circ\). Ответ: \(36^\circ, 60^\circ, 84^\circ\).