Решение задачи: объем цилиндра с радиусом 6 см и углом 60°

Дано: Цилиндр \( R = 6 \) см — радиус основания \( \alpha = 60^\circ \) — угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания Найти: \( V \) — объем цилиндра Решение: 1. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания \( D \), а другая — высоте цилиндра \( H \). Диаметр основания равен: \[ D = 2R = 2 \cdot 6 = 12 \text{ (см)} \] 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю осевого сечения, диаметром основания и высотой цилиндра. В этом треугольнике высота \( H \) является катетом, противолежащим углу \( 60^\circ \). Используем определение тангенса: \[ \text{tg } 60^\circ = \frac{H}{D} \] Отсюда выразим высоту: \[ H = D \cdot \text{tg } 60^\circ \] Подставим значения (\( \text{tg } 60^\circ = \sqrt{3} \)): \[ H = 12 \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3} \text{ (см)} \] 3. Формула объема цилиндра: \[ V = \pi R^2 H \] Подставим известные величины: \[ V = \pi \cdot 6^2 \cdot 12\sqrt{3} \] \[ V = \pi \cdot 36 \cdot 12\sqrt{3} \] \[ V = 432\sqrt{3}\pi \text{ (см}^3\text{)} \] Ответ: \( 432\sqrt{3}\pi \text{ см}^3 \).