Решение задачи 1066: Нахождение высоты шарового слоя

Задача №1066 Дано: Основания шарового слоя и цилиндра совпадают. Высота цилиндра \(h\) равна высоте шарового слоя. Объем тела между их боковыми поверхностями \(V = 36\pi\) \(см^3\). Найти: \(h\). Решение: 1. Объем тела, заключенного между боковыми поверхностями цилиндра и шарового слоя, представляет собой разность объема шарового слоя и объема цилиндра. 2. Пусть \(R\) — радиус шара, из которого вырезан слой, а \(r\) — радиус основания цилиндра (и шарового слоя). Так как основания слоя и цилиндра совпадают, \(r\) является радиусом основания цилиндра. 3. Высота слоя \(h\) симметрична относительно центра шара (так как основания равны). Расстояние от центра шара до основания слоя равно \(h/2\). По теореме Пифагора: \[R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2\] 4. Объем шарового слоя вычисляется по формуле: \[V_{слоя} = \pi h \left(r^2 + \frac{h^2}{6}\right)\] 5. Объем цилиндра: \[V_{цил} = \pi r^2 h\] 6. По условию разность объемов равна \(36\pi\): \[V_{слоя} - V_{цил} = 36\pi\] \[\pi h \left(r^2 + \frac{h^2}{6}\right) - \pi r^2 h = 36\pi\] 7. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[\pi r^2 h + \frac{\pi h^3}{6} - \pi r^2 h = 36\pi\] \[\frac{\pi h^3}{6} = 36\pi\] 8. Сократим на \(\pi\) и решим уравнение относительно \(h\): \[h^3 = 36 \cdot 6\] \[h^3 = 216\] \[h = 6\] Ответ: 6 см. Задача №1070 Дано: Два конуса с общей высотой \(H\) и концентрическими основаниями. Угол между образующей внутреннего конуса и плоскостью основания равен \(\alpha\). Разность углов, которые образующие составляют с осью, равна \(\beta\). Найти: \(V\) (объем части пространства между поверхностями конусов). Решение: 1. Пусть \(\gamma_1\) — угол между осью и образующей внутреннего конуса, а \(\gamma_2\) — угол между осью и образующей внешнего конуса. 2. Из прямоугольного треугольника для внутреннего конуса: угол между образующей и основанием \(\alpha\), значит угол с осью \(\gamma_1 = 90^\circ - \alpha\). 3. По условию разность углов с осью равна \(\beta\). Чтобы объем был между ними, внешний конус должен иметь больший угол с осью: \[\gamma_2 = \gamma_1 + \beta = 90^\circ - \alpha + \beta\] 4. Радиусы оснований конусов выразим через высоту \(H\): Для внутреннего: \(r_1 = H \cdot \text{tg}(\gamma_1) = H \cdot \text{tg}(90^\circ - \alpha) = H \cdot \text{ctg}(\alpha)\). Для внешнего: \(r_2 = H \cdot \text{tg}(\gamma_2) = H \cdot \text{tg}(90^\circ - (\alpha - \beta)) = H \cdot \text{ctg}(\alpha - \beta)\). 5. Искомый объем равен разности объемов внешнего и внутреннего конусов: \[V = V_2 - V_1 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 H - \frac{1}{3}\pi r_1^2 H = \frac{1}{3}\pi H (r_2^2 - r_1^2)\] 6. Подставим значения радиусов: \[V = \frac{1}{3}\pi H^3 (\text{ctg}^2(\alpha - \beta) - \text{ctg}^2\alpha)\] Ответ: \(\frac{1}{3}\pi H^3 (\text{ctg}^2(\alpha - \beta) - \text{ctg}^2\alpha)\).