Решение задачи 1.11: sin(x)tg(y)dx - dy/sin(x) = 0

Задание 1.11. Найдите общее решение дифференциального уравнения: \[ \sin x \text{ tg } y dx - \frac{dy}{\sin x} = 0 \] Решение: 1. Перенесем второе слагаемое в правую часть уравнения: \[ \sin x \text{ tg } y dx = \frac{dy}{\sin x} \] 2. Разделим переменные. Для этого умножим обе части уравнения на \( \sin x \) и разделим на \( \text{ tg } y \): \[ \sin^2 x dx = \frac{dy}{\text{ tg } y} \] 3. Вспомним тригонометрические формулы: \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] \[ \frac{1}{\text{ tg } y} = \text{ ctg } y = \frac{\cos y}{\sin y} \] 4. Подставим эти выражения в уравнение: \[ \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{\cos y}{\sin y} dy \] 5. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \int \frac{\cos y}{\sin y} dy \] 6. Вычислим интегралы: Левая часть: \[ \int \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x \right) dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \sin 2x + C \] Правая часть (используем замену \( u = \sin y \), тогда \( du = \cos y dy \)): \[ \int \frac{du}{u} = \ln |\sin y| \] 7. Приравниваем результаты: \[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \sin 2x + C = \ln |\sin y| \] 8. Выразим общий интеграл в более удобном виде: \[ \ln |\sin y| = \frac{2x - \sin 2x}{4} + C \] Ответ: \( \ln |\sin y| = \frac{2x - \sin 2x}{4} + C \) (общий интеграл).