Решение задачи 1.11: Комплексные числа

Задание 1.11 Дано: \( z_1 = -4 - 4i \) \( z_2 = 12 \) \( z_3 = -12i \) \( z_4 = -1 + i \) 1) Изображение на комплексной плоскости. Для построения на плоскости (где ось \( Ox \) — действительная часть \( Re \), а ось \( Oy \) — мнимая часть \( Im \)) отметим точки: \( z_1(-4; -4) \) \( z_2(12; 0) \) \( z_3(0; -12) \) \( z_4(-1; 1) \) 2) Запись \( z_4 \) в тригонометрической и показательной формах. \( z_4 = -1 + i \) Находим модуль: \[ |z_4| = r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] Находим аргумент \( \varphi \): Так как точка находится во второй четверти (\( x < 0, y > 0 \)): \[ \varphi = \pi - \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \] Тригонометрическая форма: \[ z_4 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \] Показательная форма: \[ z_4 = \sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}} \] 3) Вычисления. а) \( z_1 - z_3 \): \[ z_1 - z_3 = (-4 - 4i) - (-12i) = -4 - 4i + 12i = -4 + 8i \] б) \( z_1 \cdot \bar{z}_4 \): Сопряженное число \( \bar{z}_4 = -1 - i \). \[ z_1 \cdot \bar{z}_4 = (-4 - 4i)(-1 - i) = 4 + 4i + 4i + 4i^2 \] Так как \( i^2 = -1 \): \[ 4 + 8i - 4 = 8i \] в) \( \frac{z_4}{z_1} \): \[ \frac{z_4}{z_1} = \frac{-1 + i}{-4 - 4i} = \frac{-1 + i}{-4(1 + i)} \] Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю \( (1 - i) \): \[ \frac{(-1 + i)(1 - i)}{-4(1 + i)(1 - i)} = \frac{-1 + i + i - i^2}{-4(1^2 + 1^2)} = \frac{-1 + 2i + 1}{-4 \cdot 2} = \frac{2i}{-8} = -\frac{1}{4}i \] г) \( z_4^6 \): Используем формулу Муавра: \( z^n = r^n (\cos(n\varphi) + i \sin(n\varphi)) \). Ранее мы нашли \( r = \sqrt{2} \) и \( \varphi = \frac{3\pi}{4} \). \[ z_4^6 = (\sqrt{2})^6 \left( \cos\left(6 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(6 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) \right) \] \[ (\sqrt{2})^6 = 2^3 = 8 \] \[ 6 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} \] Аргумент \( \frac{9\pi}{2} \) эквивалентен \( \frac{\pi}{2} \). \[ z_4^6 = 8 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 8(0 + i \cdot 1) = 8i \]