Решение задачи 15

Для решения задачи по варианту 15 выпишем исходные данные и выполним расчеты по порядку. Дано: Воздух (двухатомный газ, \(i = 5\)). Масса: \(m = 763,16\) г \(= 0,76316\) кг. Молярная масса воздуха: \(M \approx 0,029\) кг/моль. Количество теплоты от нагревателя: \(Q_{н} = 30\) кДж \(= 30000\) Дж. Параметры для варианта 15 (цикл 13-16, прямоугольник): \(p_1 = 1,5 \cdot 10^5\) Па \(V_1 = 0,35\) м\(^3\) \(p_2 = 1,1 \cdot 10^5\) Па \(V_2 = 0,8\) м\(^3\) Найти: \(\eta_1\), \(T_{max}\), \(T_{min}\), \(\eta_2\). Решение: 1. Найдем работу цикла \(\eta_1\). Работа газа за цикл \(A\) численно равна площади фигуры на \(p-V\) диаграмме. Для прямоугольного цикла: \[A = (p_1 - p_2) \cdot (V_2 - V_1)\] Подставим значения: \[A = (1,5 \cdot 10^5 - 1,1 \cdot 10^5) \cdot (0,8 - 0,35) = 0,4 \cdot 10^5 \cdot 0,45 = 18000 \text{ Дж}\] КПД цикла определяется как отношение совершенной работы к полученному теплу: \[\eta_1 = \frac{A}{Q_{н}} = \frac{18000}{30000} = 0,6 \text{ или } 60\%\] 2. Определим температуры \(T_{max}\) и \(T_{min}\). Используем уравнение Менделеева-Клапейрона: \(pV = \frac{m}{M}RT\), откуда \(T = \frac{pVM}{mR}\). Универсальная газовая постоянная \(R = 8,31\) Дж/(моль\(\cdot\)К). Максимальная температура достигается в точке с максимальным давлением и объемом (правый верхний угол): \[T_{max} = \frac{p_1 \cdot V_2 \cdot M}{m \cdot R}\] \[T_{max} = \frac{1,5 \cdot 10^5 \cdot 0,8 \cdot 0,029}{0,76316 \cdot 8,31} \approx \frac{3480}{6,342} \approx 548,7 \text{ К}\] Минимальная температура достигается в точке с минимальным давлением и объемом (левый нижний угол): \[T_{min} = \frac{p_2 \cdot V_1 \cdot M}{m \cdot R}\] \[T_{min} = \frac{1,1 \cdot 10^5 \cdot 0,35 \cdot 0,029}{0,76316 \cdot 8,31} \approx \frac{1116,5}{6,342} \approx 176,1 \text{ К}\] 3. Найдем КПД цикла Карно \(\eta_2\). КПД идеальной тепловой машины, работающей между этими температурами: \[\eta_2 = \frac{T_{max} - T_{min}}{T_{max}}\] \[\eta_2 = \frac{548,7 - 176,1}{548,7} = \frac{372,6}{548,7} \approx 0,679 \text{ или } 67,9\%\] Ответ: \(\eta_1 = 60\%\), \(T_{max} \approx 548,7\) К, \(T_{min} \approx 176,1\) К, \(\eta_2 \approx 67,9\%\).