Решение задачи: Расчет цепи переменного тока RLC

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Расчет цепи переменного тока

Цель работы: Рассчитать параметры цепи переменного тока, состоящей из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора. Определить активные, реактивные, полные сопротивления и коэффициенты мощности отдельных участков и всей схемы. Рассчитать ток, напряжения на участках, активные, реактивные и полные мощности. Построить в масштабе многоугольники напряжений, сопротивлений и мощностей.

Исходные данные (Вариант 4):

• Напряжение сети \(U = 35\) В
• Сопротивление резистора \(R = 20\) Ом
• Емкость конденсатора \(C = 60\) мкФ
• Частота напряжения сети \(f = 50\) Гц
• Сопротивление катушки \(R_K = 5\) Ом
• Индуктивность катушки \(L_K = 0.1\) Гн

1. Расчет параметров цепи

1.1. Угловая частота:

\[\omega = 2 \pi f\] \[\omega = 2 \cdot 3.14159 \cdot 50 = 314.159 \text{ рад/с}\]

1.2. Индуктивное сопротивление катушки:

\[X_L = \omega L_K\] \[X_L = 314.159 \cdot 0.1 = 31.416 \text{ Ом}\]

1.3. Емкостное сопротивление конденсатора:

\[X_C = \frac{1}{\omega C}\] \[X_C = \frac{1}{314.159 \cdot 60 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{0.01884954} = 53.052 \text{ Ом}\]

2. Расчет сопротивлений участков и всей схемы

2.1. Участок 1 (Резистор R):

• Активное сопротивление: \(R_1 = R = 20\) Ом
• Реактивное сопротивление: \(X_1 = 0\) Ом
• Полное сопротивление: \(Z_1 = R_1 = 20\) Ом
• Коэффициент мощности: \(\cos \varphi_1 = \frac{R_1}{Z_1} = \frac{20}{20} = 1\)

2.2. Участок 2 (Катушка Lk, Rk):

• Активное сопротивление: \(R_2 = R_K = 5\) Ом
• Реактивное сопротивление: \(X_2 = X_L = 31.416\) Ом
• Полное сопротивление: \(Z_2 = \sqrt{R_2^2 + X_2^2}\)
\[Z_2 = \sqrt{5^2 + 31.416^2} = \sqrt{25 + 986.96} = \sqrt{1011.96} = 31.811 \text{ Ом}\]
• Коэффициент мощности: \(\cos \varphi_2 = \frac{R_2}{Z_2} = \frac{5}{31.811} = 0.157\)

2.3. Участок 3 (Конденсатор C):

• Активное сопротивление: \(R_3 = 0\) Ом
• Реактивное сопротивление: \(X_3 = -X_C = -53.052\) Ом (отрицательное, так как емкостное)
• Полное сопротивление: \(Z_3 = X_C = 53.052\) Ом
• Коэффициент мощности: \(\cos \varphi_3 = \frac{R_3}{Z_3} = \frac{0}{53.052} = 0\)

2.4. Вся схема:

• Общее активное сопротивление: \(R_{общ} = R_1 + R_2 + R_3 = 20 + 5 + 0 = 25\) Ом
• Общее реактивное сопротивление: \(X_{общ} = X_1 + X_2 + X_3 = 0 + 31.416 - 53.052 = -21.636\) Ом
• Полное сопротивление всей схемы: \(Z_{общ} = \sqrt{R_{общ}^2 + X_{общ}^2}\)
\[Z_{общ} = \sqrt{25^2 + (-21.636)^2} = \sqrt{625 + 468.11} = \sqrt{1093.11} = 33.062 \text{ Ом}\]
• Коэффициент мощности всей схемы: \(\cos \varphi_{общ} = \frac{R_{общ}}{Z_{общ}} = \frac{25}{33.062} = 0.756\)

3. Расчет тока и напряжений

3.1. Ток в цепи (последовательное соединение):

\[I = \frac{U}{Z_{общ}}\] \[I = \frac{35}{33.062} = 1.059 \text{ А}\]

3.2. Напряжения на участках:

• Напряжение на резисторе (PV1): \(U_1 = I \cdot Z_1\)
\[U_1 = 1.059 \cdot 20 = 21.18 \text{ В}\]
• Напряжение на катушке (PV3): \(U_2 = I \cdot Z_2\)
\[U_2 = 1.059 \cdot 31.811 = 33.69 \text{ В}\]
• Напряжение на конденсаторе (PV4): \(U_3 = I \cdot Z_3\)
\[U_3 = 1.059 \cdot 53.052 = 56.18 \text{ В}\]

4. Расчет мощностей

4.1. Участок 1 (Резистор R):

• Активная мощность: \(P_1 = I^2 R_1 = 1.059^2 \cdot 20 = 1.121 \cdot 20 = 22.42\) Вт
• Реактивная мощность: \(Q_1 = I^2 X_1 = 1.059^2 \cdot 0 = 0\) ВАр
• Полная мощность: \(S_1 = I^2 Z_1 = 1.059^2 \cdot 20 = 22.42\) ВА

(Можно также: \(S_1 = U_1 I = 21.18 \cdot 1.059 = 22.43\) ВА)

4.2. Участок 2 (Катушка Lk, Rk):

• Активная мощность: \(P_2 = I^2 R_2 = 1.059^2 \cdot 5 = 1.121 \cdot 5 = 5.605\) Вт
• Реактивная мощность: \(Q_2 = I^2 X_2 = 1.059^2 \cdot 31.416 = 1.121 \cdot 31.416 = 35.24\) ВАр
• Полная мощность: \(S_2 = I^2 Z_2 = 1.059^2 \cdot 31.811 = 1.121 \cdot 31.811 = 35.66\) ВА

(Можно также: \(S_2 = U_2 I = 33.69 \cdot 1.059 = 35.70\) ВА)

4.3. Участок 3 (Конденсатор C):

• Активная мощность: \(P_3 = I^2 R_3 = 1.059^2 \cdot 0 = 0\) Вт
• Реактивная мощность: \(Q_3 = I^2 X_3 = 1.059^2 \cdot (-53.052) = 1.121 \cdot (-53.052) = -59.47\) ВАр
• Полная мощность: \(S_3 = I^2 Z_3 = 1.059^2 \cdot 53.052 = 1.121 \cdot 53.052 = 59.47\) ВА

(Можно также: \(S_3 = U_3 I = 56.18 \cdot 1.059 = 59.50\) ВА)

4.4. Вся схема:

• Общая активная мощность: \(P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3 = 22.42 + 5.605 + 0 = 28.025\) Вт

(Можно также: \(P_{общ} = U I \cos \varphi_{общ} = 35 \cdot 1.059 \cdot 0.756 = 28.00\) Вт)

• Общая реактивная мощность: \(Q_{общ} = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0 + 35.24 - 59.47 = -24.23\) ВАр

(Можно также: \(Q_{общ} = U I \sin \varphi_{общ}\). Для этого найдем \(\varphi_{общ} = \arccos(0.756) = 40.89^\circ\). Тогда \(\sin \varphi_{общ} = \sin(40.89^\circ) = 0.655\). \(Q_{общ} = 35 \cdot 1.059 \cdot 0.655 = 24.25\) ВАр. Знак минус указывает на емкостной характер цепи.)

• Полная мощность всей схемы: \(S_{общ} = \sqrt{P_{общ}^2 + Q_{общ}^2}\)
\[S_{общ} = \sqrt{28.025^2 + (-24.23)^2} = \sqrt{785.4 + 587.1} = \sqrt{1372.5} = 37.047 \text{ ВА}\]

(Можно также: \(S_{общ} = U I = 35 \cdot 1.059 = 37.065\) ВА)

5. Заполнение Таблицы 2

Таблица 2

Элемент схемы	R, Ом	X, Ом	Z, Ом	cos φ	I, А	U, В	P, Вт	Q, ВАр	S, ВА
Резистор	20	0	20	1	1.059	21.18	22.42	0	22.42
Катушка	5	31.416	31.811	0.157	1.059	33.69	5.605	35.24	35.66
Конденсатор	0	-53.052	53.052	0	1.059	56.18	0	-59.47	59.47
Вся схема	25	-21.636	33.062	0.756	1.059	35	28.025	-24.23	37.047

6. Построение многоугольников (графическая часть)

Для построения многоугольников напряжений, сопротивлений и мощностей необходимо выбрать подходящий масштаб. Поскольку это текстовый ответ, я опишу, как их построить.

6.1. Многоугольник сопротивлений:

Сопротивления являются векторами. Для последовательной цепи их можно складывать векторно.

• Начало координат.
• Откладываем вектор \(R_{общ}\) по горизонтальной оси (действительная часть). \(R_{общ} = 25\) Ом.
• От конца вектора \(R_{общ}\) откладываем вектор \(X_{общ}\) по вертикальной оси (мнимая часть). \(X_{общ} = -21.636\) Ом (вниз, так как отрицательное).
• Вектор, соединяющий начало координат с концом вектора \(X_{общ}\), будет вектором полного сопротивления \(Z_{общ}\). Его длина равна 33.062 Ом.
• Угол между \(R_{общ}\) и \(Z_{общ}\) будет \(\varphi_{общ}\).

Можно также строить по участкам:

• Вектор \(R_1\) (20 Ом) по горизонтали.
• От конца \(R_1\) вектор \(R_2\) (5 Ом) по горизонтали.
• От конца \(R_2\) вектор \(X_2\) (31.416 Ом) вверх по вертикали.
• От конца \(X_2\) вектор \(X_3\) (53.052 Ом) вниз по вертикали.
• Вектор, соединяющий начало координат с конечной точкой, будет \(Z_{общ}\).

6.2. Многоугольник напряжений:

Напряжения также являются векторами. Ток \(I\) принимается за базовый вектор и откладывается по горизонтальной оси.

• Вектор \(U_R = I \cdot R_{общ}\) (активная составляющая напряжения) по горизонтали. \(U_R = 1.059 \cdot 25 = 26.475\) В.
• Вектор \(U_X = I \cdot X_{общ}\) (реактивная составляющая напряжения) по вертикали. \(U_X = 1.059 \cdot (-21.636) = -22.91\) В (вниз).
• Вектор, соединяющий начало координат с концом \(U_X\), будет вектором полного напряжения \(U\). Его длина равна 35 В.

Можно также строить по участкам:

• Вектор \(U_1\) (21.18 В) по горизонтали (совпадает с током).
• От конца \(U_1\) вектор \(U_{R_K} = I \cdot R_K = 1.059 \cdot 5 = 5.295\) В по горизонтали.
• От конца \(U_{R_K}\) вектор \(U_{L_K} = I \cdot X_L = 1.059 \cdot 31.416 = 33.26\) В вверх по вертикали.
• От конца \(U_{L_K}\) вектор \(