Задача 4.9.
Давление \(P\) монохроматического света с длиной волны \(\lambda = 600\) нм на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лучам, равно \(0,4\) мкПа. Определить число фотонов, падающих на поверхность площадью \(S = 30\) см2 за одну секунду.
Дано:
\(\lambda = 600\) нм \( = 600 \cdot 10^{-9}\) м
\(P = 0,4\) мкПа \( = 0,4 \cdot 10^{-6}\) Па
\(S = 30\) см2 \( = 30 \cdot 10^{-4}\) м2
\(t = 1\) с
Найти:
\(N\) – ?
Решение:
Давление света на абсолютно черную поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лучам, определяется формулой:
\[P = \frac{W}{c \cdot S \cdot t}\]где \(W\) – энергия света, падающего на поверхность за время \(t\), \(c\) – скорость света, \(S\) – площадь поверхности.
Энергия света \(W\) состоит из энергии \(N\) фотонов:
\[W = N \cdot E_ф\]где \(E_ф\) – энергия одного фотона.
Энергия одного фотона определяется формулой:
\[E_ф = \frac{h \cdot c}{\lambda}\]где \(h\) – постоянная Планка.
Подставим \(E_ф\) в формулу для \(W\):
\[W = N \cdot \frac{h \cdot c}{\lambda}\]Теперь подставим \(W\) в формулу для давления \(P\):
\[P = \frac{N \cdot \frac{h \cdot c}{\lambda}}{c \cdot S \cdot t} = \frac{N \cdot h}{\lambda \cdot S \cdot t}\]Из этой формулы выразим число фотонов \(N\):
\[N = \frac{P \cdot \lambda \cdot S \cdot t}{h}\]Подставим известные значения:
\(h = 6,626 \cdot 10^{-34}\) Дж \(\cdot\) с (постоянная Планка)
\(N = \frac{0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Па} \cdot 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} \cdot 30 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot 1 \text{ с}}{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{ с}}\)
\(N = \frac{0,4 \cdot 600 \cdot 30 \cdot 10^{-6-9-4}}{6,626 \cdot 10^{-34}}\)
\(N = \frac{7200 \cdot 10^{-19}}{6,626 \cdot 10^{-34}}\)
\(N \approx 1086,6 \cdot 10^{15}\)
\(N \approx 1,087 \cdot 10^{18}\)
Ответ: Число фотонов, падающих на поверхность за одну секунду, составляет примерно \(1,087 \cdot 10^{18}\).
Задача 4.10.
При рассеянии излучения на свободных электронах энергия электрона отдачи составляет \(20\) % от энергии падающего излучения. Длина волны рассеянного излучения составляет \(1,5\) пм. Определить длину волны падающего излучения.
Дано:
\(E_{отдачи} = 0,2 \cdot E_{пад}\)
\(\lambda' = 1,5\) пм \( = 1,5 \cdot 10^{-12}\) м
Найти:
\(\lambda\) – ?
Решение:
Это задача на эффект Комптона. При комптоновском рассеянии часть энергии падающего фотона передается электрону отдачи.
Энергия падающего фотона \(E_{пад}\) равна:
\[E_{пад} = \frac{h \cdot c}{\lambda}\]Энергия рассеянного фотона \(E_{расс}\) равна:
\[E_{расс} = \frac{h \cdot c}{\lambda'}\]По закону сохранения энергии, энергия падающего фотона равна сумме энергии рассеянного фотона и энергии электрона отдачи:
\[E_{пад} = E_{расс} + E_{отдачи}\]Из условия задачи известно, что \(E_{отдачи} = 0,2 \cdot E_{пад}\). Подставим это в уравнение:
\[E_{пад} = E_{расс} + 0,2 \cdot E_{пад}\]Выразим \(E_{расс}\) через \(E_{пад}\):
\[E_{расс} = E_{пад} - 0,2 \cdot E_{пад} = 0,8 \cdot E_{пад}\]Теперь подставим формулы для энергий через длины волн:
\[\frac{h \cdot c}{\lambda'} = 0,8 \cdot \frac{h \cdot c}{\lambda}\]Сократим \(h \cdot c\) с обеих сторон:
\[\frac{1}{\lambda'} = \frac{0,8}{\lambda}\]Выразим \(\lambda\):
\[\lambda = 0,8 \cdot \lambda'\]Подставим значение \(\lambda'\):
\[\lambda = 0,8 \cdot 1,5 \cdot 10^{-12} \text{ м}\] \[\lambda = 1,2 \cdot 10^{-12} \text{ м}\]Или в пикометрах:
\[\lambda = 1,2 \text{ пм}\]Ответ: Длина волны падающего излучения составляет \(1,2\) пм.
Задача 5.11.
Волновая функция некоторой частицы имеет вид \(\psi(r) = \sqrt{\frac{a^3}{\pi}} e^{-ar}\), где \(r\) – расстояние частицы от силового центра, \(a = 10^8\) м-1. Определить среднее значение расстояния \(\langle r \rangle\) частицы до силового центра.
Дано:
\(\psi(r) = \sqrt{\frac{a^3}{\pi}} e^{-ar}\)
\(a = 10^8\) м-1
Найти:
\(\langle r \rangle\) – ?
Решение:
Среднее значение расстояния \(\langle r \rangle\) для сферически симметричной волновой функции в трехмерном пространстве определяется интегралом:
\[\langle r \rangle = \int_0^\infty r \cdot |\psi(r)|^2 \cdot 4\pi r^2 dr\]Сначала найдем \(|\psi(r)|^2\):
\[|\psi(r)|^2 = \left(\sqrt{\frac{a^3}{\pi}} e^{-ar}\right)^2 = \frac{a^3}{\pi} e^{-2ar}\]Теперь подставим это в интеграл для \(\langle r \rangle\):
\[\langle r \rangle = \int_0^\infty r \cdot \frac{a^3}{\pi} e^{-2ar} \cdot 4\pi r^2 dr\] \[\langle r \rangle = \frac{4\pi a^3}{\pi} \int_0^\infty r^3 e^{-2ar} dr\] \[\langle r \rangle = 4a^3 \int_0^\infty r^3 e^{-2ar} dr\]Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой для гамма-функции или табличным интегралом вида \(\int_0^\infty x^n e^{-bx} dx = \frac{n!}{b^{n+1}}\). В нашем случае \(x = r\), \(n = 3\), \(b = 2a\).
\[\int_0^\infty r^3 e^{-2ar} dr = \frac{3!}{(2a)^{3+1}} = \frac{6}{(2a)^4} = \frac{6}{16a^4} = \frac{3}{8a^4}\]Теперь подставим результат интеграла обратно в выражение для \(\langle r \rangle\):
\[\langle r \rangle = 4a^3 \cdot \frac{3}{8a^4}\] \[\langle r \rangle = \frac{12a^3}{8a^4} = \frac{3}{2a}\]Подставим значение \(a\):
\[\langle r \rangle = \frac{3}{2 \cdot 10^8 \text{ м}^{-1}}\] \[\langle r \rangle = 1,5 \cdot 10^{-8} \text{ м}\]Ответ: Среднее значение расстояния частицы до силового центра составляет \(1,5 \cdot 10^{-8}\) м.
Задача 5.12.
Вычислить коэффициент прохождения \(\tau\) электрона с энергией \(E = 81\) эВ через потенциальный барьер высотой \(U = 80,75\) эВ.
Дано:
\(E = 81\) эВ
\(U = 80,75\) эВ
Найти:
\(\tau\) – ?
Решение:
В данной задаче энергия электрона \(E\) больше высоты потенциального барьера \(U\) (\(E > U\)). В этом случае коэффициент прохождения \(\tau\) (или коэффициент прозрачности) для прямоугольного потенциального барьера определяется формулой:
\[\tau = \frac{1}{1 + \frac{U^2 \sin^2(k_2 L)}{4E(E-U)}}\]где \(L\) – ширина барьера, \(k_2 = \frac{\sqrt{2m(E-U)}}{\hbar}\) – волновое число внутри барьера, \(\hbar\) – приведенная постоянная Планка, \(m\) – масса электрона.
Однако, в условии задачи не указана ширина барьера \(L\). Если барьер очень широкий или очень узкий, или если речь идет о прохождении над барьером без учета интерференционных эффектов, то коэффициент прохождения может быть равен 1 (для \(E > U\)). Но если подразумевается, что есть отражение, то без \(L\) точно вычислить \(\tau\) невозможно.
Предположим, что задача подразумевает случай, когда \(E > U\), и нужно найти коэффициент прохождения, который не равен 1. В таком случае, без ширины барьера \(L\), задача не имеет однозначного решения. Если же задача упрощена и подразумевает, что при \(E > U\) частица всегда проходит, то \(\tau = 1\).
Однако, если бы \(E < U\), то мы бы использовали формулу для туннелирования. Поскольку \(E > U\), частица проходит над барьером. Если бы не было интерференции, то \(\tau = 1\).
Если же задача подразумевает, что нужно использовать формулу для туннелирования, но с мнимым \(k_2\), то это неверно для \(E > U\).
Возможно, в условии задачи пропущена информация о ширине барьера \(L\). Если \(L\) не дано, и нет других указаний, то в классической физике при \(E > U\) частица всегда проходит, то есть \(\tau = 1\). В квантовой механике, из-за волновых свойств, часть частиц может отразиться даже при \(E > U\), но для точного расчета нужна ширина барьера.
Если предположить, что задача имеет в виду, что \(E\) очень близко к \(U\), и это может быть связано с каким-то предельным случаем, но без \(L\) это не решается.
Если это задача из раздела, где рассматривается только туннелирование, и по ошибке даны \(E > U\), то это некорректно. Но если это задача на прохождение над барьером, то без \(L\) мы не можем учесть интерференцию.
В случае, если задача подразумевает, что нужно просто указать, что частица проходит, то \(\tau = 1\).
Если же это задача на туннелирование, но с ошибкой в условии, то она не решается. Если же это задача на прохождение над барьером, то без \(L\) мы не можем найти точное значение \(\tau\), отличное от 1.
Давайте предположим, что задача подразумевает, что при \(E > U\) частица проходит барьер, и если нет других данных, то коэффициент прохождения равен 1.
Ответ: Если не учитывать интерференционные эффекты (из-за отсутствия ширины барьера \(L\)), то при \(E > U\) коэффициент прохождения \(\tau = 1\).
Задача 6.9.
Напряжение, приложенное к рентгеновской трубке \(U = 40\) кВ. На сколько сместится коротковолновая граница \(\lambda_{min}\) рентгеновского спектра при увеличении напряжения в 2 раза.
Дано:
\(U_1 = 40\) кВ
\(U_2 = 2 \cdot U_1 = 2 \cdot 40\) кВ \( = 80\) кВ
Найти:
\(\Delta \lambda_{min}\) – ?
Решение:
Коротковолновая граница рентгеновского спектра \(\lambda_{min}\) определяется формулой Дуэйна-Ханта:
\[\lambda_{min} = \frac{h \cdot c}{e \cdot U}\]где \(h\) – постоянная Планка, \(c\) – скорость света, \(e\) – элементарный заряд, \(U\) – напряжение на рентгеновской трубке.
Для первого напряжения \(U_1\):
\[\lambda_{min1} = \frac{h \cdot c}{e \cdot U_1}\]Для второго напряжения \(U_2\):
\[\lambda_{min2} = \frac{h \cdot c}{e \cdot U_2}\]Нам нужно найти смещение \(\Delta \lambda_{min} = \lambda_{min1} - \lambda_{min2}\).
Подставим \(U_2 = 2U_1\):
\[\lambda_{min2} = \frac{h \cdot c}{e \cdot (2U_1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h \cdot c}{e \cdot U_1} = \frac{1}{2} \lambda_{min1}\]Теперь вычислим \(\lambda_{min1}\):
\(h = 6,626 \cdot 10^{-34}\) Дж \(\cdot\) с
\(c = 3 \cdot 10^8\) м/с
\(e = 1,602 \cdot 10^{-19}\) Кл
\(U_1 = 40 \cdot 10^3\) В
\[\lambda_{min1} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{