Решение задачи: Определение числа фотонов при давлении света

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Задача 4.9

Давление \(P\) монохроматического света с длиной волны \(\lambda = 600\) нм на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лучам, равно \(0,4\) мкПа. Определить число фотонов, падающих на поверхность площадью \(S = 30\) см\(^2\) за одну секунду.

Дано:

Давление \(P = 0,4\) мкПа \( = 0,4 \cdot 10^{-6}\) Па
Длина волны \(\lambda = 600\) нм \( = 600 \cdot 10^{-9}\) м
Площадь поверхности \(S = 30\) см\(^2\) \( = 30 \cdot 10^{-4}\) м\(^2\)
Время \(t = 1\) с
Постоянная Планка \(h = 6,626 \cdot 10^{-34}\) Дж \(\cdot\) с
Скорость света \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с

Найти:

Число фотонов \(N\)

Решение:

1. Давление света на абсолютно черную поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лучам, определяется формулой: \[P = \frac{W}{c \cdot S \cdot t}\] где \(W\) – энергия, падающая на поверхность. 2. Энергия \(W\) также может быть выражена через число фотонов \(N\) и энергию одного фотона \(E_ф\): \[W = N \cdot E_ф\] Энергия одного фотона: \[E_ф = \frac{h \cdot c}{\lambda}\] 3. Подставим выражение для \(E_ф\) в формулу для \(W\): \[W = N \cdot \frac{h \cdot c}{\lambda}\] 4. Теперь подставим это выражение для \(W\) в формулу для давления \(P\): \[P = \frac{N \cdot \frac{h \cdot c}{\lambda}}{c \cdot S \cdot t} = \frac{N \cdot h}{\lambda \cdot S \cdot t}\] 5. Из этой формулы выразим число фотонов \(N\): \[N = \frac{P \cdot \lambda \cdot S \cdot t}{h}\] 6. Подставим числовые значения: \[N = \frac{0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Па} \cdot 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} \cdot 30 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot 1 \text{ с}}{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{ с}}\] \[N = \frac{0,4 \cdot 600 \cdot 30 \cdot 10^{-6-9-4}}{6,626 \cdot 10^{-34}}\] \[N = \frac{7200 \cdot 10^{-19}}{6,626 \cdot 10^{-34}}\] \[N \approx 1086,6 \cdot 10^{15}\] \[N \approx 1,087 \cdot 10^{18}\]

Ответ:

Число фотонов, падающих на поверхность, составляет примерно \(1,087 \cdot 10^{18}\).

Задача 4.10

При рассеянии излучения на свободных электронах энергия электрона отдачи составляет \(20\) % от энергии падающего излучения. Длина волны рассеянного излучения составляет \(1,5\) пм. Определить длину волны падающего излучения.

Дано:

Энергия электрона отдачи \(E_e = 0,2 \cdot E_0\), где \(E_0\) – энергия падающего излучения.
Длина волны рассеянного излучения \(\lambda' = 1,5\) пм \( = 1,5 \cdot 10^{-12}\) м.
Постоянная Планка \(h = 6,626 \cdot 10^{-34}\) Дж \(\cdot\) с
Скорость света \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с
Масса покоя электрона \(m_e = 9,109 \cdot 10^{-31}\) кг

Найти:

Длина волны падающего излучения \(\lambda\)

Решение:

1. Согласно закону сохранения энергии, энергия падающего фотона \(E_0\) равна сумме энергии рассеянного фотона \(E'\) и энергии электрона отдачи \(E_e\): \[E_0 = E' + E_e\] 2. По условию задачи, \(E_e = 0,2 \cdot E_0\). Подставим это в уравнение: \[E_0 = E' + 0,2 \cdot E_0\] \[0,8 \cdot E_0 = E'\] 3. Энергия фотона связана с длиной волны формулой: \[E = \frac{h \cdot c}{\lambda}\] Тогда: \[E_0 = \frac{h \cdot c}{\lambda}\] \[E' = \frac{h \cdot c}{\lambda'}\] 4. Подставим эти выражения в уравнение \(0,8 \cdot E_0 = E'\): \[0,8 \cdot \frac{h \cdot c}{\lambda} = \frac{h \cdot c}{\lambda'}\] 5. Сократим \(h \cdot c\) с обеих сторон: \[\frac{0,8}{\lambda} = \frac{1}{\lambda'}\] 6. Выразим \(\lambda\): \[\lambda = 0,8 \cdot \lambda'\] 7. Подставим числовое значение \(\lambda'\): \[\lambda = 0,8 \cdot 1,5 \cdot 10^{-12} \text{ м}\] \[\lambda = 1,2 \cdot 10^{-12} \text{ м}\] \[\lambda = 1,2 \text{ пм}\]

Ответ:

Длина волны падающего излучения составляет \(1,2\) пм.

Задача 5.11

Волновая функция некоторой частицы имеет вид \(\psi(r) = \sqrt{\frac{a^3}{\pi}} e^{-ar}\), где \(r\) – расстояние частицы от силового центра, \(a = 10^8\) м\(^{-1}\). Определить среднее значение расстояния \(\langle r \rangle\) частицы до силового центра.

Дано:

Волновая функция \(\psi(r) = \sqrt{\frac{a^3}{\pi}} e^{-ar}\)
Константа \(a = 10^8\) м\(^{-1}\)

Найти:

Среднее значение расстояния \(\langle r \rangle\)

Решение:

1. Среднее значение расстояния \(\langle r \rangle\) для сферически симметричной волновой функции в трехмерном пространстве определяется интегралом: \[\langle r \rangle = \int_0^\infty r \cdot |\psi(r)|^2 \cdot 4\pi r^2 dr\] Здесь \(|\psi(r)|^2\) – это плотность вероятности, а \(4\pi r^2 dr\) – элемент объема сферического слоя. 2. Найдем \(|\psi(r)|^2\): \[|\psi(r)|^2 = \left(\sqrt{\frac{a^3}{\pi}} e^{-ar}\right)^2 = \frac{a^3}{\pi} e^{-2ar}\] 3. Подставим \(|\psi(r)|^2\) в формулу для \(\langle r \rangle\): \[\langle r \rangle = \int_0^\infty r \cdot \frac{a^3}{\pi} e^{-2ar} \cdot 4\pi r^2 dr\] \[\langle r \rangle = \frac{4\pi a^3}{\pi} \int_0^\infty r^3 e^{-2ar} dr\] \[\langle r \rangle = 4a^3 \int_0^\infty r^3 e^{-2ar} dr\] 4. Для вычисления интеграла \(\int_0^\infty x^n e^{-bx} dx\) можно использовать формулу: \[\int_0^\infty x^n e^{-bx} dx = \frac{n!}{b^{n+1}}\] В нашем случае \(n=3\) и \(b=2a\). 5. Применим эту формулу: \[\int_0^\infty r^3 e^{-2ar} dr = \frac{3!}{(2a)^{3+1}} = \frac{6}{(2a)^4} = \frac{6}{16a^4} = \frac{3}{8a^4}\] 6. Теперь подставим результат интеграла обратно в выражение для \(\langle r \rangle\): \[\langle r \rangle = 4a^3 \cdot \frac{3}{8a^4}\] \[\langle r \rangle = \frac{12a^3}{8a^4} = \frac{3}{2a}\] 7. Подставим числовое значение \(a\): \[\langle r \rangle = \frac{3}{2 \cdot 10^8 \text{ м}^{-1}}\] \[\langle r \rangle = 1,5 \cdot 10^{-8} \text{ м}\]

Ответ:

Среднее значение расстояния частицы до силового центра составляет \(1,5 \cdot 10^{-8}\) м.

Задача 5.12

Вычислить коэффициент прохождения \(\tau\) электрона с энергией \(E = 81\) эВ через потенциальный барьер высотой \(U = 80,75\) эВ.

Дано:

Энергия электрона \(E = 81\) эВ
Высота потенциального барьера \(U = 80,75\) эВ

Найти:

Коэффициент прохождения \(\tau\)

Решение:

1. Коэффициент прохождения \(\tau\) (или \(D\)) для частицы через прямоугольный потенциальный барьер, когда энергия частицы \(E\) больше высоты барьера \(U\), определяется формулой: \[\tau = \frac{1}{1 + \frac{U^2 \sinh^2(\kappa L)}{4E(E-U)}}\] Однако, в данном случае \(E > U\), что означает, что частица может пройти над барьером. Если барьер достаточно широкий, то можно использовать приближенную формулу для туннелирования, но здесь \(E > U\), поэтому туннелирование не является основным механизмом. Если речь идет о прохождении над барьером, то коэффициент прохождения может быть равен 1, если нет отражения. Но если задача подразумевает квантово-механическое прохождение, то обычно рассматривают случай \(E < U\). Давайте перепроверим условие. \(E = 81\) эВ, \(U = 80,75\) эВ. Действительно, \(E > U\). 2. Для случая \(E > U\), коэффициент прохождения через прямоугольный потенциальный барьер (без учета ширины барьера, если она не дана) обычно рассматривается как: \[\tau = \frac{4 \sqrt{E(E-U)}}{(\sqrt{E} + \sqrt{E-U})^2}\] Эта формула описывает прохождение частицы над барьером, учитывая квантово-механическое отражение. 3. Подставим числовые значения: \[E = 81 \text{ эВ}\] \[U = 80,75 \text{ эВ}\] \[E - U = 81 - 80,75 = 0,25 \text{ эВ}\] 4. Вычислим корни: \[\sqrt{E} = \sqrt{81} = 9\] \[\sqrt{E-U} = \sqrt{0,25} = 0,5\] 5. Подставим эти значения в формулу для \(\tau\): \[\tau = \frac{4 \cdot 9 \cdot 0,5}{(9 + 0,5)^2}\] \[\tau = \frac{18}{(9,5)^2}\] \[\tau = \frac{18}{90,25}\] \[\tau \approx 0,1994\]

Ответ:

Коэффициент прохождения электрона через потенциальный барьер составляет примерно \(0,1994\).

Задача 6.9

Напряжение, приложенное к рентгеновской трубке \(U = 40\) кВ. На сколько сместится коротковолновая граница \(\lambda_{\text{min}}\) рентгеновского спектра при увеличении напряжения в 2 раза.

Дано:

Начальное напряжение \(U_1 = 40\) кВ
Конечное напряжение \(U_2 = 2 \cdot U_1 = 2 \cdot 40\) кВ \( = 80\) кВ
Постоянная Планка \(h = 6,626 \cdot 10^{-34}\) Дж \(\cdot\) с
Скорость света \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с
Элементарный заряд \(e = 1,602 \cdot 10^{-19}\) Кл

Найти:

Смещение коротковолновой границы \(\Delta \lambda_{\text{min}}\)

Решение:

1. Коротковолновая граница рентгеновского спектра \(\lambda_{\text{min}}\) определяется формулой Дуэйна-Ханта, которая следует из закона сохранения энергии: вся кинетическая энергия электрона, ускоренного напряжением \(U\), превращается в энергию фотона с максимальной частотой (минимальной длиной волны). \[e \cdot U = h \cdot \nu_{\text{max}}\] Так как \(\nu_{\text{max}} = \frac{c}{\lambda_{\text{min}}}\), то: \[e \cdot U = \frac{h \cdot c}{\lambda_{\text{min}}}\] 2. Из этой формулы выразим \(\lambda_{\text{min}}\): \[\lambda_{\text{min}} = \frac{h \cdot c}{e \cdot U}\] 3. Найдем начальную коротковолновую границу \(\lambda_{\text{min1}}\) при напряжении \(U_1\): \[\lambda_{\text{min1}} = \frac{h \cdot c}{e \cdot U_1}\] \[\lambda_{\text{min1}} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{ с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 40 \cdot 10^3 \text{ В}}\] \[\lambda_{\text{min1}} = \frac{19,878 \cdot 10^{-26}}{64,08 \cdot 10^{-16}}\] \[\lambda_{\text{min1}} \approx 0,3102 \cdot 10^{-10} \text{ м} = 31,02 \text{ пм}\] 4. Найдем конечную коротковолновую границу \(\lambda_{\text{min2}}\) при напряжении \(U_2\): \[\lambda_{\text{min2}} = \frac{h \cdot c}{e \cdot U_2}\] Так как \(U_2 = 2 \cdot U_1\), то: \[\lambda_{\text{min2}} = \frac{h \cdot c}{e \cdot (2 \cdot U_1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h \cdot c}{e \cdot U_1} = \frac{1}{2} \cdot \lambda_{\text{min1}}\] \[\lambda_{\text{min2}} = \frac{1}{2} \cdot 31,02 \text{ пм} = 15,51 \text{ пм}\] 5. Смещение коротковолновой границы \(\Delta \lambda_{\text{min}}\) – это разность между начальной и конечной дли