Решение задачи 16: Бутерброд Котенка Гава и Шарика

Вот решение задачи 16, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Задача 16 Котенок Гав и щенок Шарик приготовили бутерброд. На длинный кусок хлеба с линейной плотностью \(\lambda_1 = 3\) г/см положили сосиску с линейной плотностью \(\lambda_2 = 2\) г/см. Сосиска оказалась в два раза короче хлеба. Котенок предложил подвинуть сосиску к своему краю и по-братски разделить бутерброд на две равные по массе части, разрезав его поперёк (см. рисунок). Вопросы: 1. Во сколько раз длина бутерброда щенка больше, чем у котёнка? 2. Какая часть сосиски достанется котёнку? Решение: Обозначим: Длина хлеба — \(L_х\) Длина сосиски — \(L_с\) Линейная плотность хлеба — \(\lambda_1 = 3\) г/см Линейная плотность сосиски — \(\lambda_2 = 2\) г/см Из условия задачи известно, что сосиска в два раза короче хлеба: \[L_с = \frac{L_х}{2}\] Масса хлеба: \[M_х = \lambda_1 \cdot L_х\] Масса сосиски: \[M_с = \lambda_2 \cdot L_с = \lambda_2 \cdot \frac{L_х}{2}\] Общая масса бутерброда: \[M_{общ} = M_х + M_с = \lambda_1 \cdot L_х + \lambda_2 \cdot \frac{L_х}{2} = L_х \left( \lambda_1 + \frac{\lambda_2}{2} \right)\] Подставим значения \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\): \[M_{общ} = L_х \left( 3 \text{ г/см} + \frac{2 \text{ г/см}}{2} \right) = L_х (3 \text{ г/см} + 1 \text{ г/см}) = 4 \cdot L_х \text{ г/см}\] Бутерброд делится на две равные по массе части. Масса каждой части: \[M_{части} = \frac{M_{общ}}{2} = \frac{4 \cdot L_х \text{ г/см}}{2} = 2 \cdot L_х \text{ г/см}\] Пусть котенок подвинул сосиску к своему краю. Это означает, что сосиска лежит на одном конце хлеба. Предположим, что разрез сделан на расстоянии \(x\) от края котёнка. Тогда часть бутерброда, которая достанется котёнку, будет иметь массу \(M_{котёнка}\), а часть, которая достанется щенку, будет иметь массу \(M_{щенка}\). По условию \(M_{котёнка} = M_{щенка} = M_{части}\). Рассмотрим два случая расположения разреза относительно сосиски. Случай 1: Разрез находится внутри сосиски (то есть \(x \le L_с\)). Масса части котёнка будет состоять из массы хлеба длиной \(x\) и массы сосиски длиной \(x\). \[M_{котёнка} = \lambda_1 \cdot x + \lambda_2 \cdot x = (\lambda_1 + \lambda_2) \cdot x\] Приравняем эту массу к \(M_{части}\): \[(\lambda_1 + \lambda_2) \cdot x = 2 \cdot L_х\] \[(3 \text{ г/см} + 2 \text{ г/см}) \cdot x = 2 \cdot L_х\] \[5 \cdot x = 2 \cdot L_х\] \[x = \frac{2}{5} L_х\] Проверим условие \(x \le L_с\): \[L_с = \frac{L_х}{2} = 0.5 L_х\] \[x = 0.4 L_х\] Так как \(0.4 L_х \le 0.5 L_х\), этот случай возможен. Разрез находится внутри сосиски. Длина бутерброда, которая достанется котёнку, равна \(x\). \[L_{котёнка} = x = \frac{2}{5} L_х\] Длина бутерброда, которая достанется щенку, равна \(L_х - x\). \[L_{щенка} = L_х - \frac{2}{5} L_х = \frac{3}{5} L_х\] Ответ на первый вопрос: Во сколько раз длина бутерброда щенка больше, чем у котёнка? \[\frac{L_{щенка}}{L_{котёнка}} = \frac{\frac{3}{5} L_х}{\frac{2}{5} L_х} = \frac{3}{2} = 1.5\] Длина бутерброда щенка в 1.5 раза больше, чем у котёнка. Ответ на второй вопрос: Какая часть сосиски достанется котёнку? Разрез сделан на расстоянии \(x = \frac{2}{5} L_х\) от края котёнка. Длина сосиски, которая достанется котёнку, равна \(x\), так как \(x \le L_с\). \[L_{сосиски, котёнка} = x = \frac{2}{5} L_х\] Общая длина сосиски \(L_с = \frac{L_х}{2}\). Часть сосиски, которая достанется котёнку: \[\frac{L_{сосиски, котёнка}}{L_с} = \frac{\frac{2}{5} L_х}{\frac{1}{2} L_х} = \frac{2}{5} \cdot 2 = \frac{4}{5}\] Котёнку достанется \(\frac{4}{5}\) части сосиски. Окончательные ответы: 1. Длина бутерброда щенка в 1.5 раза больше, чем у котёнка. 2. Котёнку достанется \(\frac{4}{5}\) части сосиски.