Решение задачи: Напряжения в стержнях при изменении температуры

Дано: \(a = 1,2 \text{ м}\) \(l = 1,8 \text{ м}\) \(A = 3 \text{ см}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\) \(\Delta t = -15^\circ\text{C}\) \(\alpha = 1,2 \cdot 10^{-5} \text{ град}^{-1}\) \(E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па}\) \(\beta = 30^\circ\) Определить: \(\sigma_1, \sigma_2\) (напряжения в стержнях). Решение: 1. Рассмотрим статическое равновесие системы. Пусть \(N_1\) — сила в наклонном стержне, \(N_2\) — сила в вертикальном стержне. Составим уравнение моментов относительно шарнира крепления балки к стене (левая точка): \[\sum M_0 = 0: N_1 \cdot \sin(30^\circ) \cdot a + N_2 \cdot 3a = 0\] Разделим на \(a\): \[N_1 \cdot 0,5 + 3N_2 = 0 \implies N_1 = -6N_2\] 2. Составим уравнение совместности деформаций. При охлаждении стержни укорачиваются, вызывая поворот жесткой балки на малый угол \(\varphi\). Перемещения точек крепления стержней к балке: \(\Delta l_{1 \text{верт}} = \varphi \cdot a\) \(\Delta l_{2} = \varphi \cdot 3a\) Отсюда следует геометрическая связь: \(\Delta l_2 = 3 \cdot \Delta l_{1 \text{верт}}\). Учитывая угол наклона первого стержня: \(\Delta l_1 = \Delta l_{1 \text{верт}} \cdot \sin(30^\circ) = 0,5 \cdot \Delta l_{1 \text{верт}}\). Тогда: \(\Delta l_2 = 6 \cdot \Delta l_1\). 3. Выразим полные удлинения стержней через температурную и силовую составляющие: \[\Delta l_1 = \frac{N_1 \cdot L_1}{E \cdot A} + \alpha \cdot \Delta t \cdot L_1\] \[\Delta l_2 = \frac{N_2 \cdot L_2}{E \cdot A} + \alpha \cdot \Delta t \cdot L_2\] Длины стержней: \(L_2 = l = 1,8 \text{ м}\), \(L_1 = \frac{l}{\sin(30^\circ)} = \frac{1,8}{0,5} = 3,6 \text{ м}\). 4. Подставим выражения в уравнение связи \(\Delta l_2 = 6 \Delta l_1\): \[\frac{N_2 \cdot l}{EA} + \alpha \Delta t l = 6 \left( \frac{N_1 \cdot 2l}{EA} + \alpha \Delta t \cdot 2l \right)\] Сократим на \(l\): \[\frac{N_2}{EA} + \alpha \Delta t = \frac{12 N_1}{EA} + 12 \alpha \Delta t\] Подставим \(N_1 = -6N_2\): \[\frac{N_2}{EA} - \frac{72 N_2}{EA} = 11 \alpha \Delta t\] \[-\frac{71 N_2}{EA} = 11 \alpha \Delta t \implies N_2 = -\frac{11 \alpha \Delta t EA}{71}\] 5. Вычислим напряжения \(\sigma = \frac{N}{A}\): \[\sigma_2 = -\frac{11 \cdot 1,2 \cdot 10^{-5} \cdot (-15) \cdot 2 \cdot 10^5}{71} \approx \frac{396}{71} \approx 5,58 \text{ МПа}\] \[\sigma_1 = \frac{N_1}{A} = \frac{-6 N_2}{A} = -6 \sigma_2\] \[\sigma_1 = -6 \cdot 5,58 = -33,48 \text{ МПа}\] Ответ: \(\sigma_1 \approx -33,48 \text{ МПа}\) (сжатие), \(\sigma_2 \approx 5,58 \text{ МПа}\) (растяжение).