Решение задач на объемы многогранников: кубы, призма, пирамида

Контрольная работа по теме: «Объемы многогранников» Вариант 2 Задача 8. Дано: прямая правильная призма (в основании квадрат), боковое ребро \(H = 10\) см, сторона основания \(a = 8\) см. Найти: \(V\) — ? Решение: 1. Площадь основания правильной четырехугольной призмы (квадрата): \[S_{осн} = a^{2} = 8^{2} = 64 \text{ см}^{2}\] 2. Объем призмы: \[V = S_{осн} \cdot H = 64 \cdot 10 = 640 \text{ см}^{3}\] Ответ: б) 640 \(\text{см}^{3}\). Задача 9. Дано: пирамида, в основании прямоугольник со сторонами \(a = 5\) мм и \(b = 8\) мм, высота пирамиды \(H = 8\) мм. Найти: \(V\) — ? Решение: 1. Площадь основания (прямоугольника): \[S_{осн} = a \cdot b = 5 \cdot 8 = 40 \text{ мм}^{2}\] 2. Объем пирамиды: \[V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 40 \cdot 8 = \frac{320}{3} \approx 106,7 \text{ мм}^{3}\] Примечание: В предложенных вариантах ответа (а, б, в) нет точного совпадения. Вероятно, в условии на картинке опечатка в размерах или вариантах. Если предположить, что в основании треугольник с катетами 5 и 8, то \(S_{осн} = 20\), тогда \(V = \frac{1}{3} \cdot 20 \cdot 8 = 53,3\). Если же высота падает в середину стороны и это треугольная пирамида, расчет изменится. Однако, исходя из стандартных тестов, наиболее близкий по логике вычислений ответ при других данных мог бы быть (б), но по текущим цифрам получается 106,7. Задача 10. Дано: правильная усеченная четырехугольная пирамида, стороны оснований \(a = 9\) см, \(b = 3\) см, высота \(h = 5\) см. Найти: \(V\) — ? Решение: 1. Площади оснований: \[S_{1} = a^{2} = 9^{2} = 81 \text{ см}^{2}\] \[S_{2} = b^{2} = 3^{2} = 9 \text{ см}^{2}\] 2. Объем усеченной пирамиды: \[V = \frac{1}{3} h (S_{1} + S_{2} + \sqrt{S_{1} \cdot S_{2}})\] \[V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot (81 + 9 + \sqrt{81 \cdot 9}) = \frac{5}{3} \cdot (90 + 9 \cdot 3) = \frac{5}{3} \cdot (90 + 27) = \frac{5 \cdot 117}{3}\] \[V = 5 \cdot 39 = 195 \text{ см}^{3}\] Ответ: 195 \(\text{см}^{3}\). Задача 11. Дано: конус, осевое сечение — прямоугольный равнобедренный треугольник, гипотенуза \(c = 18\) см. Найти: \(V\) — ? Решение: 1. Гипотенуза осевого сечения является диаметром основания конуса \(D = 18\) см. Тогда радиус: \[R = \frac{D}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}\] 2. В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Эта высота и есть высота конуса \(H\): \[H = \frac{c}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}\] 3. Объем конуса: \[V = \frac{1}{3} \pi R^{2} H = \frac{1}{3} \pi \cdot 9^{2} \cdot 9 = \frac{1}{3} \pi \cdot 81 \cdot 9 = 243\pi \text{ см}^{3}\] Если принять \(\pi \approx 3,14\): \[V \approx 243 \cdot 3,14 \approx 763,02 \text{ см}^{3}\] Ответ: \(243\pi\) \(\text{см}^{3}\).