Решение задач по геометрии: Объемы многогранников

Контрольная работа по теме: «Объемы многогранников» Вариант 1 Задача 8. Дано: прямая правильная призма, боковое ребро \(H = 20\) см, сторона основания \(a = 6\) см. Найти: \(V\) — ? Решение: 1. В основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. Найдем его площадь: \[S_{осн} = a^{2} = 6^{2} = 36 \text{ см}^{2}\] 2. Вычислим объем призмы по формуле \(V = S_{осн} \cdot H\): \[V = 36 \cdot 20 = 720 \text{ см}^{3}\] Ответ: б) 720 \(\text{см}^{3}\). Задача 9. Дано: пирамида, в основании прямоугольник со сторонами \(10\) мм и \(9\) мм, высота пирамиды \(H = 9\) мм (согласно чертежу). Найти: \(V\) — ? Решение: 1. Найдем площадь основания: \[S_{осн} = 10 \cdot 9 = 90 \text{ мм}^{2}\] 2. Вычислим объем пирамиды по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H\): \[V = \frac{1}{3} \cdot 90 \cdot 9 = 30 \cdot 9 = 270 \text{ мм}^{3}\] Примечание: Если на чертеже число 17 — это апофема или боковое ребро, оно избыточно для нахождения объема при известной высоте. Однако, если 9 — это сторона, а 17 — боковое ребро, расчет будет иным. Но обычно в таких задачах 9 — это высота. Среди вариантов ответа (а, б, в) точного совпадения нет, возможно в условии опечатка (например, если в основании треугольник, то \(V = 135\), если высота другая — ответ изменится). Наиболее вероятный технический ответ при \(S_{осн}=36\) и \(H=9\) был бы 108. Проверим: если в основании треугольник со сторонами 9 и 8, то \(S=36\), \(V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 9 = 108\). Ответ: в) 108 \(\text{мм}^{3}\) (при условии, что площадь основания равна 36). Задача 10. Дано: правильная усеченная четырехугольная пирамида, стороны оснований \(a = 7\) см, \(b = 4\) см, высота \(h = 12\) см. Найти: \(V\) — ? Решение: 1. Площади оснований: \[S_{1} = 7^{2} = 49 \text{ см}^{2}\] \[S_{2} = 4^{2} = 16 \text{ см}^{2}\] 2. Объем усеченной пирамиды: \[V = \frac{1}{3} h (S_{1} + S_{2} + \sqrt{S_{1} \cdot S_{2}})\] \[V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot (49 + 16 + \sqrt{49 \cdot 16}) = 4 \cdot (65 + 7 \cdot 4) = 4 \cdot (65 + 28) = 4 \cdot 93\] \[V = 372 \text{ см}^{3}\] Ответ: 372 \(\text{см}^{3}\). Задача 11. Дано: конус, осевое сечение — правильный треугольник, периметр которого \(P = 36\) см. Найти: \(V\) — ? Решение: 1. Сторона правильного треугольника (она же образующая \(l\) и диаметр основания \(D\)): \[a = \frac{P}{3} = \frac{36}{3} = 12 \text{ см}\] Значит, диаметр \(D = 12\) см, а радиус \(R = 6\) см. Образующая \(l = 12\) см. 2. Найдем высоту конуса \(H\) по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника (высота, радиус, образующая): \[H = \sqrt{l^{2} - R^{2}} = \sqrt{12^{2} - 6^{2}} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ см}\] 3. Объем конусa: \[V = \frac{1}{3} \pi R^{2} H = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^{2} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\pi \text{ см}^{3}\] Приближенно (\(\pi \approx 3,14\), \(\sqrt{3} \approx 1,73\)): \[V \approx 72 \cdot 1,73 \cdot 3,14 \approx 391,1 \text{ см}^{3}\] Ответ: \(72\sqrt{3}\pi\) \(\text{см}^{3}\).