Решение задачи: Найти ускорение a1 вторым способом

Для решения данной задачи вторым способом воспользуемся методом общего уравнения динамики (принципом Даламбера-Лагранжа) или теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме. Это позволит нам найти ускорение системы быстрее. Дано: \(m_1 = 10 \, \text{кг}\) \(m_2 = 8 \, \text{кг}\) \(m_3 = 12 \, \text{кг}\) \(R_2 = 0,6 \, \text{м}\) \(F = 18 \, \text{Н}\) \(M = 2 \, \text{Н} \cdot \text{м}\) (момент сопротивления на блоке 2) Найти: \(a_1\) — ускорение груза 1. Решение: 1. Выразим скорости всех тел через скорость первого груза \(v_1\). Так как нить нерастяжима, скорость точки касания на блоке 2 равна скорости груза 1 и скорости рейки 3: \[v_1 = v_3 = v_E\] Для блока 2 (каток), если он катится без проскальзывания, скорость его центра \(v_{C2}\) связана с угловой скоростью \(\omega_2\) и радиусом \(R_2\). Из кинематики связи: \[v_1 = \omega_2 \cdot 2R_2 \implies \omega_2 = \frac{v_1}{2R_2}\] Скорость центра масс блока 2: \[v_{C2} = \omega_2 \cdot R_2 = \frac{v_1}{2}\] 2. Запишем выражение для суммарной кинетической энергии системы \(T\): \[T = T_1 + T_2 + T_3\] Кинетическая энергия груза 1 (поступательное движение): \[T_1 = \frac{m_1 v_1^2}{2}\] Кинетическая энергия рейки 3 (поступательное движение): \[T_3 = \frac{m_3 v_3^2}{2} = \frac{m_3 v_1^2}{2}\] Кинетическая энергия блока 2 (плоскопараллельное движение): \[T_2 = \frac{m_2 v_{C2}^2}{2} + \frac{J_2 \omega_2^2}{2}\] Где \(J_2 = \frac{1}{2} m_2 R_2^2\) — момент инерции цилиндра. Подставим значения: \[T_2 = \frac{m_2 (v_1/2)^2}{2} + \frac{\frac{1}{2} m_2 R_2^2 (v_1/2R_2)^2}{2} = \frac{m_2 v_1^2}{8} + \frac{m_2 v_1^2}{16} = \frac{3}{16} m_2 v_1^2\] 3. Общая кинетическая энергия: \[T = \left( \frac{m_1}{2} + \frac{m_3}{2} + \frac{3 m_2}{16} \right) v_1^2\] Приведем к виду \(T = \frac{1}{2} m_{пр} v_1^2\), где \(m_{пр}\) — приведенная масса: \[m_{пр} = m_1 + m_3 + \frac{3}{8} m_2\] \[m_{пр} = 10 + 12 + \frac{3}{8} \cdot 8 = 10 + 12 + 3 = 25 \, \text{кг}\] 4. Составим уравнение мощностей. Производная кинетической энергии по времени равна сумме мощностей внешних сил: \[\frac{dT}{dt} = \sum P_i\] \[m_{пр} v_1 \frac{dv_1}{dt} = F \cdot v_3 - M \cdot \omega_2\] Так как \(\frac{dv_1}{dt} = a_1\), \(v_3 = v_1\) и \(\omega_2 = \frac{v_1}{2R_2}\), получаем: \[m_{пр} v_1 a_1 = F v_1 - M \frac{v_1}{2R_2}\] Разделим обе части на \(v_1\): \[m_{пр} a_1 = F - \frac{M}{2R_2}\] 5. Вычисляем ускорение: \[a_1 = \frac{F - \frac{M}{2R_2}}{m_{пр}}\] \[a_1 = \frac{18 - \frac{2}{2 \cdot 0,6}}{25} = \frac{18 - 1,667}{25} = \frac{16,333}{25} \approx 0,653 \, \text{м/с}^2\] Ответ: \(a_1 \approx 0,653 \, \text{м/с}^2\).