Решение задачи: ⁵√2×¹⁰√2+⁵√-2√2

Для того чтобы решить данное выражение, переведем все радикалы (корни) в степени с рациональным показателем. Это позволит нам применить свойства степеней. Решение: \[ \sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[10]{2} + \sqrt[5]{-2\sqrt{2}} \] 1. Преобразуем первое слагаемое: \[ \sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[10]{2} = 2^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{10}} \] При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \[ 2^{\frac{1}{5} + \frac{1}{10}} = 2^{\frac{2}{10} + \frac{1}{10}} = 2^{\frac{3}{10}} \] 2. Преобразуем второе слагаемое. Сначала упростим выражение под внешним корнем: \[ 2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \] Теперь извлечем корень пятой степени. Так как корень нечетной степени из отрицательного числа отрицателен, вынесем минус вперед: \[ \sqrt[5]{-2^{\frac{3}{2}}} = - (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}} = - 2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5}} = - 2^{\frac{3}{10}} \] 3. Сложим полученные результаты: \[ 2^{\frac{3}{10}} + (- 2^{\frac{3}{10}}) = 2^{\frac{3}{10}} - 2^{\frac{3}{10}} = 0 \] Ответ: 0.