schoolГеометрия
verifiedРешено AI
Решение задачи 25: биссектриса и медиана в треугольнике
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: 25. В треугольнике АВС биссектриса ВE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 76. Найдите стороны треугольника АВС.
lightbulbКраткий ответ
В треугольнике ABC, где биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и равны 76, сначала доказываем равнобедренность треугольника ABD, что позволяет найти соотношения между сторонами. Дальнейшее решение требует дополнительных построений и теорем.
Подробное решение
Решение задачи 25.
Пусть дан треугольник АВС.
Биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны, то есть \(BE \perp AD\).
Длина биссектрисы ВЕ равна 76.
Длина медианы AD равна 76.
Обозначим точку пересечения ВЕ и AD как О.
Так как ВЕ и AD перпендикулярны, то \(\angle AOB = \angle DOE = 90^\circ\).
Рассмотрим треугольник ABD.
AD - медиана, значит D - середина стороны ВС.
ВЕ - биссектриса, значит она делит угол В на две равные части.
В треугольнике АВD отрезок ВО является высотой (так как \(BE \perp AD\)) и биссектрисой угла В (так как ВО лежит на биссектрисе ВЕ).
Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.
Значит, треугольник АВD равнобедренный с основанием AD.
Следовательно, \(AB = BD\).
Так как D - середина стороны ВС, то \(BD = DC\).
Из этого следует, что \(AB = BD = DC\).
Обозначим \(AB = x\). Тогда \(BD = x\) и \(DC = x\).
Значит, \(BC = BD + DC = x + x = 2x\).
Теперь рассмотрим длины отрезков.
AD = 76.
ВЕ = 76.
В равнобедренном треугольнике АВD, ВО является биссектрисой и высотой, а также медианой к основанию AD.
Значит, О - середина AD.
Тогда \(AO = OD = \frac{AD}{2} = \frac{76}{2} = 38\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ (так как \(\angle AOB = 90^\circ\)).
По теореме Пифагора: \(AB^2 = AO^2 + BO^2\).
Мы знаем \(AB = x\) и \(AO = 38\).
Значит, \(x^2 = 38^2 + BO^2\).
Отсюда \(BO^2 = x^2 - 38^2\).
Теперь рассмотрим биссектрису ВЕ.
ВЕ = 76.
\(BE = BO + OE\).
Значит, \(OE = BE - BO = 76 - BO\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник DOE (так как \(\angle DOE = 90^\circ\)).
По теореме Пифагора: \(DE^2 = OD^2 + OE^2\).
Мы знаем \(OD = 38\).
Значит, \(DE^2 = 38^2 + (76 - BO)^2\).
Теперь воспользуемся свойством биссектрисы.
Биссектриса ВЕ делит сторону АС в отношении, равном отношению прилежащих сторон:
\[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}\]
Мы знаем \(AB = x\) и \(BC = 2x\).
Значит, \[\frac{AE}{EC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\]
Следовательно, \(EC = 2AE\).
И \(AC = AE + EC = AE + 2AE = 3AE\).
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
По формуле длины медианы:
\[m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}\]
В нашем случае \(m_a = AD = 76\), \(a = BC = 2x\), \(b = AC\), \(c = AB = x\).
\[76^2 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot x^2 - (2x)^2}{4}\]
\[76^2 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2x^2 - 4x^2}{4}\]
\[76^2 = \frac{2 \cdot AC^2 - 2x^2}{4}\]
\[76^2 = \frac{AC^2 - x^2}{2}\]
\[2 \cdot 76^2 = AC^2 - x^2\]
\[AC^2 = 2 \cdot 76^2 + x^2\]
Мы знаем, что \(AC = 3AE\).
Значит, \((3AE)^2 = 2 \cdot 76^2 + x^2\).
\(9AE^2 = 2 \cdot 76^2 + x^2\).
Теперь вернемся к отрезкам биссектрисы.
В треугольнике АВD, ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВС, ВЕ - биссектриса.
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
По формуле длины медианы:
\[m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}\]
В треугольнике АВD, медиана ВО к стороне AD.
Стороны треугольника АВD: \(AB = x\), \(BD = x\), \(AD = 76\).
\[BO^2 = \frac{2 \cdot x^2 + 2 \cdot x^2 - 76^2}{4}\]
\[BO^2 = \frac{4x^2 - 76^2}{4}\]
\[BO^2 = x^2 - \frac{76^2}{4}\]
\[BO^2 = x^2 - \left(\frac{76}{2}\right)^2\]
\[BO^2 = x^2 - 38^2\]
Это совпадает с тем, что мы получили из прямоугольного треугольника АОВ.
Теперь нам нужно найти BO.
Мы знаем, что \(BE = 76\).
В треугольнике АВС, AD - медиана.
В треугольнике АВD, ВО - медиана.
Рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Точка О - точка пересечения медианы AD и биссектрисы ВЕ.
По свойству медианы, точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Но О - это точка пересечения медианы и биссектрисы, а не двух медиан.
Поэтому это свойство здесь не применимо напрямую.
Однако, мы знаем, что в треугольнике АВD, ВО является медианой к AD.
Значит, О - середина AD.
Это мы уже использовали. \(AO = OD = 38\).
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
В нем AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный с \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь нам нужно найти BO.
Мы знаем \(BO^2 = x^2 - 38^2\).
И \(OE = 76 - BO\).
Рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Точка О - точка пересечения AD и ВЕ.
В треугольнике АВD, ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВЕ.
В нем AD - медиана.
В нем ВО - медиана.
В нем О - точка пересечения медиан.
Нет, это не так. AD - медиана в АВС, а не в АВЕ.
Давайте вернемся к тому, что \(AB = BD = DC = x\).
Значит, \(BC = 2x\).
Рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Точка О - точка пересечения AD и ВЕ.
В треугольнике АВD, ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC = 2x\).
По свойству биссектрисы, \[\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\].
Значит, \(EC = 2AE\).
Рассмотрим треугольник АВD.
ВО - медиана к AD.
В треугольнике АВD, ВО - высота к AD.
Значит, треугольник АВD равнобедренный, \(AB = BD\).
Это мы уже использовали.
Теперь рассмотрим треугольник АВС.
AD - медиана.
ВЕ - биссектриса.
Мы знаем, что \(AB = x\), \(BC =