Решение: Линейные и уравнения Бернулли

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: \[ y' + P(x)y = Q(x) \] Метод решения (метод Бернулли): Ищем решение в виде произведения двух функций \( y = u \cdot v \), тогда \( y' = u'v + uv' \). Подставляем в исходное уравнение: \[ u'v + uv' + P(x)uv = Q(x) \] \[ u'v + u(v' + P(x)v) = Q(x) \] 1) Находим \( v \) из условия \( v' + P(x)v = 0 \) (разделяем переменные). 2) Подставляем найденное \( v \) в оставшееся уравнение \( u'v = Q(x) \) и находим \( u \). 3) Записываем общий ответ: \( y = u \cdot v \). Уравнением Бернулли называется уравнение вида: \[ y' + P(x)y = Q(x)y^n \], где \( n \neq 0, n \neq 1 \). Метод решения: Уравнение сводится к линейному путем замены \( z = y^{1-n} \). Однако на практике его удобнее решать тем же методом подстановки \( y = uv \), как и линейное уравнение. При группировке слагаемых алгоритм поиска \( v \) и \( u \) остается аналогичным. 4. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 2-го порядка с постоянными коэффициентами Общий вид уравнения: \[ ay'' + by' + cy = 0 \] где \( a, b, c \) — некоторые числа (константы), причем \( a \neq 0 \). Метод решения: Для решения составляется характеристическое уравнение: \[ ak^2 + bk + c = 0 \] Находим дискриминант \( D = b^2 - 4ac \) и корни \( k_1, k_2 \). Возможны три случая: 1) Если \( D > 0 \), корни \( k_1 \) и \( k_2 \) действительные и разные. Общее решение: \[ y = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x} \] 2) Если \( D = 0 \), корни действительные и равные \( k_1 = k_2 = k \). Общее решение: \[ y = e^{kx}(C_1 + C_2 x) \] 3) Если \( D < 0 \), корни комплексно-сопряженные: \( k_{1,2} = \alpha \pm i\beta \). Общее решение: \[ y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \] Здесь \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные постоянные.