Задача: Даны вершины треугольника \( \triangle ABC \): \( A(-2; 4) \), \( B(3; 1) \), \( C(10; 7) \). Уравнение прямой, проходящей через точку \( C \) параллельно стороне \( AB \), имеет вид ...
Решение:
Шаг 1: Найдем угловой коэффициент прямой \( AB \).
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \), вычисляется по формуле:
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]Для точек \( A(-2; 4) \) и \( B(3; 1) \):
\[ k_{AB} = \frac{1 - 4}{3 - (-2)} = \frac{-3}{3 + 2} = \frac{-3}{5} \]Итак, угловой коэффициент прямой \( AB \) равен \( -\frac{3}{5} \).
Шаг 2: Определим угловой коэффициент искомой прямой.
По условию, искомая прямая параллельна стороне \( AB \). Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент искомой прямой также равен \( -\frac{3}{5} \).
\[ k_{искомой} = k_{AB} = -\frac{3}{5} \]Шаг 3: Составим уравнение искомой прямой.
Искомая прямая проходит через точку \( C(10; 7) \) и имеет угловой коэффициент \( k = -\frac{3}{5} \). Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом:
\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]Подставим координаты точки \( C(10; 7) \) и угловой коэффициент \( k = -\frac{3}{5} \):
\[ y - 7 = -\frac{3}{5}(x - 10) \]Шаг 4: Преобразуем уравнение к общему виду \( Ax + By + C = 0 \).
Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:
\[ 5(y - 7) = -3(x - 10) \]Раскроем скобки:
\[ 5y - 35 = -3x + 30 \]Перенесем все члены в левую часть уравнения:
\[ 3x + 5y - 35 - 30 = 0 \] \[ 3x + 5y - 65 = 0 \]Шаг 5: Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами.
Полученное уравнение: \( 3x + 5y - 65 = 0 \).
Предложенные варианты (из изображения):
- \( 3x - 5y - 5 = 0 \)
- \( 3x + 5y + 5 = 0 \)
- \( 3x - 5y + 5 = 0 \)
- \( 3x + 5y - 5 = 0 \) (этот вариант виден не полностью, но по аналогии с другими можно предположить)
Ни один из предложенных вариантов точно не совпадает с нашим результатом \( 3x + 5y - 65 = 0 \).
Однако, если предположить, что в одном из вариантов есть опечатка, и он должен быть \( 3x + 5y - 65 = 0 \), то это был бы правильный ответ. Если же среди предложенных вариантов нет правильного, то задача имеет некорректные варианты ответов.
Давайте перепроверим расчеты.
Угловой коэффициент \( k_{AB} = \frac{1 - 4}{3 - (-2)} = \frac{-3}{5} \). Верно.
Уравнение прямой через \( C(10; 7) \) с \( k = -\frac{3}{5} \):
\[ y - 7 = -\frac{3}{5}(x - 10) \] \[ 5(y - 7) = -3(x - 10) \] \[ 5y - 35 = -3x + 30 \] \[ 3x + 5y - 35 - 30 = 0 \] \[ 3x + 5y - 65 = 0 \]Все расчеты верны.
Вывод: Правильное уравнение прямой, проходящей через точку \( C \) параллельно стороне \( AB \), это \( 3x + 5y - 65 = 0 \). Среди предложенных вариантов такого ответа нет. Возможно, в задании или в вариантах ответов допущена ошибка.
Если бы нужно было выбрать наиболее близкий вариант или если бы один из вариантов был \( 3x + 5y - 65 = 0 \), то он был бы правильным.