Задача: Даны вершины \( \triangle ABC \): \( A(1; 7) \), \( B(-3; -1) \), \( C(11; -3) \). Острый \( \angle A \) равен ? градусов.
Ответ: 71,6
Решение:
Для нахождения угла \( A \) в треугольнике \( ABC \) мы можем использовать формулу косинуса угла между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).
Шаг 1: Найдем координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).
Вектор \( \vec{AB} \) имеет координаты \( (x_B - x_A; y_B - y_A) \):
\[ \vec{AB} = (-3 - 1; -1 - 7) = (-4; -8) \]Вектор \( \vec{AC} \) имеет координаты \( (x_C - x_A; y_C - y_A) \):
\[ \vec{AC} = (11 - 1; -3 - 7) = (10; -10) \]Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).
Скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (x_1; y_1) \) и \( \vec{b} = (x_2; y_2) \) равно \( x_1 x_2 + y_1 y_2 \).
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-4) \cdot 10 + (-8) \cdot (-10) \] \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = -40 + 80 \] \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 40 \]Шаг 3: Найдем длины (модули) векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).
Длина вектора \( \vec{a} = (x; y) \) равна \( \sqrt{x^2 + y^2} \).
Длина вектора \( \vec{AB} \):
\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} \]Длина вектора \( \vec{AC} \):
\[ |\vec{AC}| = \sqrt{10^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} \]Шаг 4: Вычислим косинус угла \( A \).
Косинус угла между двумя векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) вычисляется по формуле:
\[ \cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} \]Подставим найденные значения:
\[ \cos A = \frac{40}{\sqrt{80} \cdot \sqrt{200}} \] \[ \cos A = \frac{40}{\sqrt{80 \cdot 200}} \] \[ \cos A = \frac{40}{\sqrt{16000}} \]Упростим \( \sqrt{16000} \):
\[ \sqrt{16000} = \sqrt{1600 \cdot 10} = \sqrt{1600} \cdot \sqrt{10} = 40\sqrt{10} \]Теперь подставим это обратно в формулу для \( \cos A \):
\[ \cos A = \frac{40}{40\sqrt{10}} \] \[ \cos A = \frac{1}{\sqrt{10}} \]Рационализируем знаменатель:
\[ \cos A = \frac{\sqrt{10}}{10} \]Шаг 5: Найдем значение угла \( A \) в градусах.
Для этого используем арккосинус:
\[ A = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right) \]Вычислим значение \( \frac{\sqrt{10}}{10} \):
\[ \sqrt{10} \approx 3.162277 \] \[ \frac{\sqrt{10}}{10} \approx \frac{3.162277}{10} \approx 0.3162277 \]Теперь найдем угол \( A \):
\[ A = \arccos(0.3162277) \]Используя калькулятор, получаем:
\[ A \approx 71.565 \text{ градусов} \]Округлим до одного знака после запятой, как в ответе:
\[ A \approx 71.6 \text{ градусов} \]Вывод: Острый угол \( A \) равен примерно \( 71.6 \) градусов. Это совпадает с предложенным ответом.