Решение: Сколько точек разрыва имеет функция y = x(x+3)/(2x^2+5x-3)?

Давайте решим эту задачу по шагам, чтобы определить количество точек разрыва функции.

Задача: Сколько точек разрыва имеет функция \( y = \frac{x(x+3)}{2x^2+5x-3} \)?

Решение:

Точки разрыва рациональной функции (дроби, где в числителе и знаменателе многочлены) возникают там, где знаменатель обращается в ноль. Если при этом числитель не равен нулю, то это будет точка разрыва второго рода (бесконечный разрыв, вертикальная асимптота). Если и числитель, и знаменатель обращаются в ноль, то это может быть точка устранимого разрыва (дырка).

Шаг 1: Найдем корни знаменателя.

Знаменатель функции: \( 2x^2+5x-3 \).

Приравняем его к нулю и решим квадратное уравнение:

\[ 2x^2+5x-3 = 0 \]

Используем формулу для корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( D = b^2 - 4ac \).

В нашем случае \( a=2 \), \( b=5 \), \( c=-3 \).

Вычислим дискриминант \( D \):

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) \] \[ D = 25 - (-24) \] \[ D = 25 + 24 \] \[ D = 49 \]

Теперь найдем корни \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \] \[ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, знаменатель обращается в ноль при \( x = -3 \) и \( x = \frac{1}{2} \).

Эти значения \( x \) являются потенциальными точками разрыва.

Шаг 2: Проверим числитель в этих точках.

Числитель функции: \( x(x+3) \).

Проверим \( x = -3 \):

Подставим \( x = -3 \) в числитель:

\[ (-3)((-3)+3) = (-3)(0) = 0 \]

Так как и числитель, и знаменатель равны нулю при \( x = -3 \), это означает, что \( (x+3) \) является общим множителем для числителя и знаменателя. Это точка устранимого разрыва (дырка).

Проверим \( x = \frac{1}{2} \):

Подставим \( x = \frac{1}{2} \) в числитель:

\[ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+3\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{6}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{7}{4} \]

Так как числитель не равен нулю, а знаменатель равен нулю при \( x = \frac{1}{2} \), это точка разрыва второго рода (вертикальная асимптота).

Шаг 3: Определим количество точек разрыва.

Мы нашли две точки, в которых функция не определена:

1. \( x = -3 \) (устранимый разрыв)
2. \( x = \frac{1}{2} \) (разрыв второго рода)

Обе эти точки являются точками разрыва функции.

Вывод: Функция имеет 2 точки разрыва.

Ответ: 2