Определение бесконечно малой функции: Функция \( f(x) \) называется бесконечно малой при \( x \to \infty \), если \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \).
Рассмотрим каждую из предложенных функций:
1. \( y = \frac{1}{x^2} \)
Найдем предел этой функции при \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} \]Когда \( x \) стремится к бесконечности, \( x^2 \) также стремится к бесконечности. А дробь, где числитель - константа, а знаменатель стремится к бесконечности, стремится к нулю.
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0 \]Следовательно, функция \( y = \frac{1}{x^2} \) является бесконечно малой при \( x \to \infty \).
2. \( y = \log_{0,5} x \)
Найдем предел этой функции при \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \log_{0,5} x \]Основание логарифма \( 0.5 \) находится между 0 и 1. Для такого основания логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при увеличении \( x \), значение \( \log_{0,5} x \) уменьшается. Когда \( x \) стремится к бесконечности, \( \log_{0,5} x \) стремится к \( -\infty \).
\[ \lim_{x \to \infty} \log_{0,5} x = -\infty \]Следовательно, функция \( y = \log_{0,5} x \) не является бесконечно малой при \( x \to \infty \).
3. \( y = \text{arctg } x \)
Найдем предел этой функции при \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \text{arctg } x \]Функция арктангенс имеет горизонтальные асимптоты. При \( x \to \infty \), \( \text{arctg } x \) стремится к \( \frac{\pi}{2} \).
\[ \lim_{x \to \infty} \text{arctg } x = \frac{\pi}{2} \]Так как \( \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \neq 0 \), функция \( y = \text{arctg } x \) не является бесконечно малой при \( x \to \infty \).
4. \( y = \sqrt[3]{x} \)
Найдем предел этой функции при \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x} \]Когда \( x \) стремится к бесконечности, кубический корень из \( x \) также стремится к бесконечности.
\[ \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x} = \infty \]Следовательно, функция \( y = \sqrt[3]{x} \) не является бесконечно малой при \( x \to \infty \).
5. \( y = \text{tg } x \)
Найдем предел этой функции при \( x \to \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \text{tg } x \]Функция тангенс является периодической и не имеет предела при \( x \to \infty \). Она колеблется между \( -\infty \) и \( +\infty \) вблизи своих вертикальных асимптот.
Следовательно, функция \( y = \text{tg } x \) не является бесконечно малой при \( x \to \infty \).
Вывод:
Из всех перечисленных функций только \( y = \frac{1}{x^2} \) является бесконечно малой при \( x \to \infty \).
Ответ:
Единственная функция, которая является бесконечно малой при \( x \to \infty \), это:
☑ \( y = \frac{1}{x^2} \)