Решение задачи про билеты: 5A+3B+4C=1790

Давайте решим эту задачу подробно, шаг за шагом. Это задача на составление системы уравнений. Обозначим стоимость одного билета до каждой станции переменными. Пусть: * \(x\) — стоимость одного билета до станции А (в рублях). * \(y\) — стоимость одного билета до станции B (в рублях). * \(z\) — стоимость одного билета до станции C (в рублях). Теперь составим уравнения на основе данных из условия задачи. Первое предложение: "5 билетов до станции А, 3 билета до станции B и 4 билета до станции C стоят 1790 рублей." Это можно записать как уравнение: \[5x + 3y + 4z = 1790 \quad (1)\] Второе предложение: "3 билета до станции А, 1 билет до станции B и 1 билет до станции C стоят 780 рублей." Это можно записать как уравнение: \[3x + y + z = 780 \quad (2)\] Нам нужно найти стоимость "1 билета до станции A, 3 билетов до станции B и 5 билетов до станции C". То есть, нам нужно найти значение выражения: \[x + 3y + 5z = ?\] Давайте попробуем выразить одну из переменных из второго уравнения, так как оно проще. Из уравнения (2) можно выразить \(y\): \[y = 780 - 3x - z \quad (3)\] Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение (1). Это позволит нам уменьшить количество переменных в одном из уравнений. Подставляем (3) в (1): \[5x + 3(780 - 3x - z) + 4z = 1790\] Раскроем скобки: \[5x + 3 \cdot 780 - 3 \cdot 3x - 3 \cdot z + 4z = 1790\] \[5x + 2340 - 9x - 3z + 4z = 1790\] Теперь сгруппируем подобные члены (отдельно \(x\), отдельно \(z\) и отдельно числа): \[(5x - 9x) + (-3z + 4z) + 2340 = 1790\] \[-4x + z + 2340 = 1790\] Теперь выразим \(z\) из этого уравнения. Перенесем \(2340\) в правую часть уравнения, изменив знак: \[-4x + z = 1790 - 2340\] \[-4x + z = -550\] Выразим \(z\): \[z = 4x - 550 \quad (4)\] Теперь у нас есть выражения для \(y\) (уравнение 3) и для \(z\) (уравнение 4) через \(x\). Давайте подставим выражение для \(z\) (4) в выражение для \(y\) (3). Подставляем (4) в (3): \[y = 780 - 3x - (4x - 550)\] Раскроем скобки, помня, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри скобки: \[y = 780 - 3x - 4x + 550\] Сгруппируем подобные члены: \[y = (780 + 550) + (-3x - 4x)\] \[y = 1330 - 7x \quad (5)\] Итак, у нас есть: * \(y = 1330 - 7x\) * \(z = 4x - 550\) Теперь нам нужно найти значение выражения \(x + 3y + 5z\). Подставим в него выражения для \(y\) и \(z\), которые мы нашли. \[x + 3(1330 - 7x) + 5(4x - 550)\] Раскроем скобки: \[x + 3 \cdot 1330 - 3 \cdot 7x + 5 \cdot 4x - 5 \cdot 550\] \[x + 3990 - 21x + 20x - 2750\] Теперь сгруппируем все члены с \(x\) и все числа: \[(x - 21x + 20x) + (3990 - 2750)\] Вычислим сумму членов с \(x\): \[x - 21x + 20x = (1 - 21 + 20)x = (21 - 21)x = 0x = 0\] Вычислим сумму чисел: \[3990 - 2750 = 1240\] Таким образом, наше выражение равно: \[0 + 1240 = 1240\] Заметьте, что в конечном выражении переменная \(x\) исчезла. Это означает, что стоимость, которую мы ищем, не зависит от конкретной стоимости билета до станции А, а определяется соотношением цен. Ответ: 1240 рублей. Давайте проверим, если бы мы нашли конкретные значения \(x, y, z\). Например, если \(x = 100\) рублей: Тогда \(z = 4 \cdot 100 - 550 = 400 - 550 = -150\). Отрицательная стоимость билета не имеет смысла в реальной жизни. Это означает, что наша система уравнений имеет решения, но не все из них могут быть интерпретированы как реальные цены. Однако, задача не спрашивает о реальных ценах, а о стоимости комбинации билетов. И в этом случае, математическое решение корректно. Если бы мы хотели получить положительные цены, нам нужно было бы, чтобы \(4x - 550 > 0\), то есть \(4x > 550\), или \(x > 137.5\). И \(1330 - 7x > 0\), то есть \(1330 > 7x\), или \(x < 1330/7 \approx 190\). Так что, если бы \(x\) был, например, 150 рублей, то: \(x = 150\) \(z = 4 \cdot 150 - 550 = 600 - 550 = 50\) рублей. \(y = 1330 - 7 \cdot 150 = 1330 - 1050 = 280\) рублей. Проверим эти значения в исходных уравнениях: 1) \(5 \cdot 150 + 3 \cdot 280 + 4 \cdot 50 = 750 + 840 + 200 = 1790\). Верно. 2) \(3 \cdot 150 + 1 \cdot 280 + 1 \cdot 50 = 450 + 280 + 50 = 780\). Верно. Теперь найдем стоимость искомой комбинации с этими значениями: \(1 \cdot 150 + 3 \cdot 280 + 5 \cdot 50 = 150 + 840 + 250 = 1240\). Результат совпадает. Это подтверждает правильность нашего решения. Окончательный ответ: 1240 рублей.