Задача 5.
Дано:
- Масса человека \(m_ч = 60\) кг
- Масса лодки \(m_л = 120\) кг
- Длина лодки \(L = 3\) м
Найти: Расстояние, на которое переместится лодка \(\Delta x_л\).
Решение:
Система "человек + лодка" является замкнутой, так как внешние горизонтальные силы (сопротивление воды) отсутствуют или пренебрежимо малы. В такой системе центр масс остается неподвижным.
Пусть начало координат находится в начальном положении носа лодки. Человек переходит с носа на корму, то есть перемещается относительно лодки на расстояние, равное длине лодки \(L\).
Обозначим перемещение лодки относительно берега как \(\Delta x_л\). Тогда перемещение человека относительно берега будет \(\Delta x_ч = L - \Delta x_л\), если считать, что человек движется в положительном направлении, а лодка в отрицательном (или наоборот, главное учесть относительное движение). Удобнее считать, что человек движется относительно лодки на расстояние \(L\), а лодка при этом смещается на \(\Delta x_л\).
Применим закон сохранения положения центра масс. Если начальное положение центра масс принять за ноль, то конечное положение центра масс также будет ноль.
Пусть человек движется вправо, а лодка смещается влево. Тогда перемещение человека относительно берега будет \(L - \Delta x_л\), а перемещение лодки \(\Delta x_л\).
Формула для смещения центра масс: \[\Delta x_{цм} = \frac{m_ч \Delta x_ч + m_л \Delta x_л}{m_ч + m_л}\]
Поскольку центр масс не смещается, \(\Delta x_{цм} = 0\).
Тогда: \[m_ч \Delta x_ч + m_л \Delta x_л = 0\]
Пусть человек движется от носа к корме. Если лодка смещается на \(\Delta x_л\) в одну сторону, то человек относительно берега смещается на \(L - \Delta x_л\) в противоположную сторону. Или, если человек движется относительно лодки на расстояние \(L\), то его перемещение относительно берега будет \(L - \Delta x_л\). Перемещение лодки относительно берега будет \(\Delta x_л\).
Примем, что человек движется в положительном направлении, а лодка в отрицательном. Перемещение человека относительно берега: \(\Delta x_ч = L - \Delta x_л\). Перемещение лодки относительно берега: \(\Delta x_л\).
Тогда: \[m_ч (L - \Delta x_л) + m_л (-\Delta x_л) = 0\] \[m_ч L - m_ч \Delta x_л - m_л \Delta x_л = 0\] \[m_ч L = (m_ч + m_л) \Delta x_л\] \[\Delta x_л = \frac{m_ч L}{m_ч + m_л}\]
Вычисления:
\[\Delta x_л = \frac{60 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м}}{60 \text{ кг} + 120 \text{ кг}}\] \[\Delta x_л = \frac{180 \text{ кг} \cdot \text{м}}{180 \text{ кг}}\] \[\Delta x_л = 1 \text{ м}\]Ответ: Лодка переместится на 1 м.
Задача 6.
Дано:
- Масса первого осколка \(m_1 = 1\) кг
- Скорость первого осколка \(v_1 = 12\) м/с (горизонтально)
- Масса второго осколка \(m_2 = 2\) кг
- Скорость второго осколка \(v_2 = 8\) м/с (перпендикулярно движению первого)
- Скорость третьего осколка \(v_3 = 40\) м/с
Найти: Массу третьего осколка \(m_3\) и направление его движения (угол к горизонту).
Решение:
Применим закон сохранения импульса. До взрыва камень был неподвижен, поэтому его начальный импульс равен нулю. После взрыва сумма импульсов всех осколков также должна быть равна нулю.
\[\vec{P}_{нач} = \vec{0}\] \[\vec{P}_{кон} = \vec{P}_1 + \vec{P}_2 + \vec{P}_3 = \vec{0}\] \[m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3 = \vec{0}\] \[m_3 \vec{v}_3 = -(m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2)\]Введем систему координат. Пусть первый осколок летит вдоль оси X, а второй осколок летит вдоль оси Y (поскольку его движение перпендикулярно движению первого).
Вектор импульса первого осколка: \(\vec{P}_1 = (m_1 v_1, 0)\)
Вектор импульса второго осколка: \(\vec{P}_2 = (0, m_2 v_2)\)
Тогда сумма импульсов первых двух осколков: \[\vec{P}_{12} = \vec{P}_1 + \vec{P}_2 = (m_1 v_1, m_2 v_2)\]
Импульс третьего осколка должен быть равен по модулю и противоположен по направлению сумме импульсов первых двух осколков: \[\vec{P}_3 = -\vec{P}_{12} = (-m_1 v_1, -m_2 v_2)\]
Вычисления для компонент импульса:
Компонента по оси X: \(P_{3x} = -m_1 v_1 = -1 \text{ кг} \cdot 12 \text{ м/с} = -12 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)
Компонента по оси Y: \(P_{3y} = -m_2 v_2 = -2 \text{ кг} \cdot 8 \text{ м/с} = -16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)
Модуль импульса третьего осколка: \[P_3 = \sqrt{P_{3x}^2 + P_{3y}^2}\] \[P_3 = \sqrt{(-12)^2 + (-16)^2}\] \[P_3 = \sqrt{144 + 256}\] \[P_3 = \sqrt{400}\] \[P_3 = 20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\]
Теперь найдем массу третьего осколка: \[P_3 = m_3 v_3\] \[m_3 = \frac{P_3}{v_3}\] \[m_3 = \frac{20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{40 \text{ м/с}}\] \[m_3 = 0.5 \text{ кг}\]
Направление движения третьего осколка:
Угол \(\alpha\) между вектором импульса (и скорости) третьего осколка и отрицательным направлением оси X можно найти с помощью тангенса: \[\tan \alpha = \frac{|P_{3y}|}{|P_{3x}|}\] \[\tan \alpha = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\] \[\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)\] \[\alpha \approx 53.13^\circ\]
Поскольку обе компоненты импульса \(P_{3x}\) и \(P_{3y}\) отрицательны, третий осколок летит в третьем квадранте, то есть "вниз и влево" относительно начальных направлений первых двух осколков.
Угол к горизонту (оси X) можно указать как 53.13° ниже горизонтальной плоскости (или относительно направления, противоположного движению первого осколка).
Ответ:
- Масса третьего осколка \(m_3 = 0.5\) кг.
- Третий осколок летит под углом примерно 53.13° к горизонту. Его направление можно описать как "вниз и влево" относительно начальных направлений первых двух осколков. Если первый осколок летел "вправо", а второй "вверх", то третий летит "влево и вниз".