Хорошо, давайте решим задачу для варианта 7.
Задание 2.2. Определение потерь мощности в голом проводе
Нам нужно определить потери мощности в голом проводе из указанных в таблице 2.2 металлов длиной \(l\) и сечением \(s\) при температурах провода \(-20^\circ\text{C}\) и \(+60^\circ\text{C}\), если величина тока в проводе равна \(I\).
Алгоритм расчета:
1. Произвести расчет удельного сопротивления металла проводника при изменении температуры и заполнить таблицу 2.1:
* при снижении температуры до значения \(t = -20^\circ\text{C}\);
* при повышении температуры проводника до значения \(t = +60^\circ\text{C}\).
Используем формулу: \(\rho = \rho_0 [1 + \alpha_p t]\), где \(\rho_0\) - удельное сопротивление при \(20^\circ\text{C}\).
2. Рассчитать омическое сопротивление проводника (при различных температурах) по известной формуле: \(R = \rho \frac{l}{s}\).
3. Определить потери мощности в голом проводнике: \(P = I^2 R\).
4. Сделать вывод согласно полученным результатам.
Данные для варианта 7 из таблицы 2.2:
| Вариант |
Металл |
Длина \(l\), м |
Сечение \(s\), мм2 |
Ток \(I\), А |
Удельное сопрот. \(\rho_0 (\text{мкОм} \cdot \text{м})\) при \(+20^\circ\text{C}\) |
Температурный коэффициент \(\alpha_p\) |
| 7 |
Медь |
90 |
16 |
75 |
0,0172 |
0,0043 |
|
Сталь |
100 |
20 |
80 |
0,098 |
0,006 |
|
Вольфрам |
40 |
0,04 |
6 |
0,055 |
0,0046 |
|
Алюминий |
130 |
70 |
80 |
0,028 |
0,0042 |
Расчеты для каждого металла:
1. Медь
Исходные данные: \(l = 90 \text{ м}\), \(s = 16 \text{ мм}^2\), \(I = 75 \text{ А}\), \(\rho_0 = 0,0172 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\), \(\alpha_p = 0,0043\)
*
Удельное сопротивление при \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(\rho_{-20} = \rho_0 [1 + \alpha_p t] = 0,0172 \cdot [1 + 0,0043 \cdot (-20)] = 0,0172 \cdot [1 - 0,086] = 0,0172 \cdot 0,914 = 0,01572 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\)
*
Удельное сопротивление при \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(\rho_{+60} = \rho_0 [1 + \alpha_p t] = 0,0172 \cdot [1 + 0,0043 \cdot 60] = 0,0172 \cdot [1 + 0,258] = 0,0172 \cdot 1,258 = 0,02164 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\)
*
Омическое сопротивление при \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(R_{-20} = \rho_{-20} \frac{l}{s} = 0,01572 \cdot \frac{90}{16} = 0,01572 \cdot 5,625 = 0,088425 \text{ Ом}\)
*
Омическое сопротивление при \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(R_{+60} = \rho_{+60} \frac{l}{s} = 0,02164 \cdot \frac{90}{16} = 0,02164 \cdot 5,625 = 0,121725 \text{ Ом}\)
*
Потери мощности при \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(P_{-20} = I^2 R_{-20} = (75)^2 \cdot 0,088425 = 5625 \cdot 0,088425 = 497,09 \text{ Вт}\)
*
Потери мощности при \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(P_{+60} = I^2 R_{+60} = (75)^2 \cdot 0,121725 = 5625 \cdot 0,121725 = 684,68 \text{ Вт}\)
2. Сталь
Исходные данные: \(l = 100 \text{ м}\), \(s = 20 \text{ мм}^2\), \(I = 80 \text{ А}\), \(\rho_0 = 0,098 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\), \(\alpha_p = 0,006\)
*
Удельное сопротивление при \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(\rho_{-20} = 0,098 \cdot [1 + 0,006 \cdot (-20)] = 0,098 \cdot [1 - 0,12] = 0,098 \cdot 0,88 = 0,08624 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\)
*
Удельное сопротивление при \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(\rho_{+60} = 0,098 \cdot [1 + 0,006 \cdot 60] = 0,098 \cdot [1 + 0,36] = 0,098 \cdot 1,36 = 0,13328 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\)
*
Омическое сопротивление при \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(R_{-20} = 0,08624 \cdot \frac{100}{20} = 0,08624 \cdot 5 = 0,4312 \text{ Ом}\)
*
Омическое сопротивление при \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(R_{+60} = 0,13328 \cdot \frac{100}{20} = 0,13328 \cdot 5 = 0,6664 \text{ Ом}\)
*
Потери мощности при \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(P_{-20} = (80)^2 \cdot 0,4312 = 6400 \cdot 0,4312 = 2760,0 \text{ Вт}\)
*
Потери мощности при \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(P_{+60} = (80)^2 \cdot 0,6664 = 6400 \cdot 0,6664 = 4265,0 \text{ Вт}\)
3. Вольфрам
Исходные данные: \(l = 40 \text{ м}\), \(s = 0,04 \text{ мм}^2\), \(I = 6 \text{ А}\), \(\rho_0 = 0,055 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\), \(\alpha_p = 0,0046\)
*
Удельное сопротивление при \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(\rho_{-20} = 0,055 \cdot [1 + 0,0046 \cdot (-20)] = 0,055 \cdot [1 - 0,092] = 0,055 \cdot 0,908 = 0,04994 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\)
*
Удельное сопротивление при \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(\rho_{+60} = 0,055 \cdot [1 + 0,0046 \cdot 60] = 0,055 \cdot [1 + 0,276] = 0,055 \cdot 1,276 = 0,07018 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\)
*
Омическое сопротивление при \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(R_{-20} = 0,04994 \cdot \frac{40}{0,04} = 0,04994 \cdot 1000 = 49,94 \text{ Ом}\)
*
Омическое сопротивление при \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(R_{+60} = 0,07018 \cdot \frac{40}{0,04} = 0,07018 \cdot 1000 = 70,18 \text{ Ом}\)
*
Потери мощности при \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(P_{-20} = (6)^2 \cdot 49,94 = 36 \cdot 49,94 = 1797,84 \text{ Вт}\)
*
Потери мощности при \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(P_{+60} = (6)^2 \cdot 70,18 = 36 \cdot 70,18 = 2526,48 \text{ Вт}\)
4. Алюминий
Исходные данные: \(l = 130 \text{ м}\), \(s = 70 \text{ мм}^2\), \(I = 80 \text{ А}\), \(\rho_0 = 0,028 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\), \(\alpha_p = 0,0042\)
*
Удельное сопротивление при \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(\rho_{-20} = 0,028 \cdot [1 + 0,0042 \cdot (-20)] = 0,028 \cdot [1 - 0,084] = 0,028 \cdot 0,916 = 0,025648 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\)
*
Удельное сопротивление при \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(\rho_{+60} = 0,028 \cdot [1 + 0,0042 \cdot 60] = 0,028 \cdot [1 + 0,252] = 0,028 \cdot 1,252 = 0,035056 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\)
*
Омическое сопротивление при \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(R_{-20} = 0,025648 \cdot \frac{130}{70} = 0,025648 \cdot 1,85714 = 0,04763 \text{ Ом}\)
*
Омическое сопротивление при \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(R_{+60} = 0,035056 \cdot \frac{130}{70} = 0,035056 \cdot 1,85714 = 0,06511 \text{ Ом}\)
*
Потери мощности при \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(P_{-20} = (80)^2 \cdot 0,04763 = 6400 \cdot 0,04763 = 304,83 \text{ Вт}\)
*
Потери мощности при \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(P_{+60} = (80)^2 \cdot 0,06511 = 6400 \cdot 0,06511 = 416,70 \text{ Вт}\)
Заполненная таблица 2.1
| Вариант |
Металл |
Удельное сопротивление \(\rho_{-20}\) при \(t=-20^\circ\text{C}\) (мкОм \(\cdot\) м) |
Удельное сопротивление \(\rho_{+60}\) при \(t=+60^\circ\text{C}\) (мкОм \(\cdot\) м) |
Омическое сопротивление \(R_{-20}\) (Ом) |
Омическое сопротивление \(R_{+60}\) (Ом) |
Потери мощности \(P_{-20}\) в проводнике (Вт) |
Потери мощности \(P_{+60}\) в проводнике (Вт) |
| 7 |
Медь |
0,01572 |
0,02164 |
0,0884 |
0,1217 |
497,09 |
684,68 |
|
Сталь |
0,08624 |
0,13328 |
0,4312 |
0,6664 |
2760,0 |
4265,0 |
|
Вольфрам |
0,04994 |
0,07018 |
49,94 |
70,18 |
1797,84 |
2526,48 |
|
Алюминий |
0,02565 |
0,03506 |
0,0476 |
0,0651 |
304,83 |
416,70 |
Вывод согласно полученным результатам:
Из расчетов видно, что с повышением температуры от \(-20^\circ\text{C}\) до \(+60^\circ\text{C}\) удельное сопротивление всех металлов увеличивается. Это приводит к увеличению омического сопротивления проводников и, как следствие, к увеличению потерь мощности в них при прохождении одного и того же тока.
Наименьшие потери мощности при обеих температурах наблюдаются у алюминиевого проводника, а наибольшие — у стального проводника. Вольфрамовый проводник, несмотря на относительно небольшую длину и ток, имеет значительные потери мощности из-за очень малого сечения, что приводит к высокому омическому сопротивлению. Медный проводник показывает хорошие результаты по потерям мощности, уступая только алюминию.
Таким образом, для минимизации потерь мощности в проводнике при изменении температуры, следует выбирать материалы с низким удельным сопротивлением и, по возможности, использовать проводники с большим сечением.
