Хорошо, давайте решим задачу для варианта 7.
Задание 2.2
Определить потери мощности в голом проводе из указанного в таблице 2.2 металла длиной \(l\) и сечением \(s\) при температурах провода \(-20^\circ\text{C}\) и \(+60^\circ\text{C}\), если величина тока в проводе равна \(I\).
Алгоритм расчета
1. Произвести расчет удельного сопротивления металла проводника при изменении температуры и заполнить таблицу 2.1.
* при снижении температуры до значения \(t = -20^\circ\text{C}\);
* при повышении температуры проводника до значения \(t = +60^\circ\text{C}\).
2. Рассчитать омическое сопротивление проводника (при различных температурах) по известной формуле: \(R = \rho \frac{l}{s}\).
3. Определить потери мощности в голом проводнике: \(P = I^2 R\).
4. Сделать вывод согласно полученным результатам.
Исходные данные для варианта 7 (из таблицы 2.2)
| Металл |
Длина \(l\), м |
Сечение \(s\), мм2 |
Ток \(I\), А |
Удельное сопрот. \(\rho_0\) (мкОм \(\cdot\) м) при \(+20^\circ\text{C}\) |
Температурный коэффициент \(\alpha_\rho\) |
| медь |
90 |
16 |
75 |
0,0172 |
0,0043 |
| сталь |
100 |
20 |
80 |
0,098 |
0,006 |
| вольфрам |
40 |
0,04 |
6 |
0,055 |
0,0046 |
| алюминий |
130 |
70 |
80 |
0,028 |
0,0042 |
Формулы для расчёта
Удельное сопротивление при температуре \(t\): \(\rho = \rho_0 [1 + \alpha_\rho (t - t_0)]\), где \(t_0 = 20^\circ\text{C}\).
Омическое сопротивление: \(R = \rho \frac{l}{s}\).
Потери мощности: \(P = I^2 R\).
Важно: Удельное сопротивление \(\rho_0\) дано в мкОм \(\cdot\) м. Для расчетов в Омах нужно перевести: \(1 \text{ мкОм} \cdot \text{м} = 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}\).
Однако, в предыдущей задаче удельное сопротивление было в \(\text{Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\). Давайте уточним единицы. Если \(s\) в мм
2, а \(l\) в м, то \(\rho\) должно быть в \(\text{Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\).
Предположим, что данные в таблице 2.2 для \(\rho_0\) в мкОм \(\cdot\) м означают \(\text{мкОм} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\) для согласования с предыдущей задачей. Если нет, то нужно будет перевести \(\text{мкОм} \cdot \text{м}\) в \(\text{Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\) (умножить на \(10^6\) для перевода м
2 в мм
2, но это нелогично).
Будем считать, что \(\rho_0\) в таблице 2.2 дано в \(\text{мкОм} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\). Тогда для расчетов в Омах нужно будет умножить на \(10^{-6}\).
Давайте пересчитаем \(\rho_0\) в \(\text{Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\):
Медь: \(0,0172 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)
Сталь: \(0,098 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)
Вольфрам: \(0,055 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)
Алюминий: \(0,028 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)
Но это очень маленькие значения. В предыдущей задаче медь имела \(\rho = 0,0172 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\).
Скорее всего, в таблице 2.2 \(\rho_0\) дано в \(\text{мкОм} \cdot \text{м}\), и это означает, что нужно перевести \(\text{мкОм} \cdot \text{м}\) в \(\text{Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\).
\(1 \text{ мкОм} \cdot \text{м} = 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}\).
Чтобы получить \(\text{Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\), нужно \(\text{Ом} \cdot \text{м}\) умножить на \(10^6\) (так как \(1 \text{ м}^2 = 10^6 \text{ мм}^2\)).
Тогда \(\rho_0\) в \(\text{Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\) будет равно числовому значению из таблицы.
Например, для меди: \(0,0172 \text{ мкОм} \cdot \text{м} = 0,0172 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}\).
Если \(s\) в мм
2, то \(\rho\) должно быть в \(\text{Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\).
Значит, \(0,0172 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\) в таблице 2.2, скорее всего, означает \(0,0172 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\). Это согласуется с предыдущей задачей. Будем использовать эти значения напрямую.
Расчеты для каждого металла
1. Медь
\(l = 90 \text{ м}\), \(s = 16 \text{ мм}^2\), \(I = 75 \text{ А}\)
\(\rho_0 = 0,0172 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\) при \(t_0 = 20^\circ\text{C}\)
\(\alpha_\rho = 0,0043 \text{ К}^{-1}\)
*
При \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(\rho_{-20} = \rho_0 [1 + \alpha_\rho (t - t_0)] = 0,0172 [1 + 0,0043 (-20 - 20)] = 0,0172 [1 + 0,0043 (-40)]\)
\(\rho_{-20} = 0,0172 [1 - 0,172] = 0,0172 \cdot 0,828 = 0,01424 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)
\(R_{-20} = \rho_{-20} \frac{l}{s} = 0,01424 \cdot \frac{90}{16} = 0,01424 \cdot 5,625 = 0,0801 \text{ Ом}\)
\(P_{-20} = I^2 R_{-20} = (75)^2 \cdot 0,0801 = 5625 \cdot 0,0801 = 450,56 \text{ Вт}\)
*
При \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(\rho_{+60} = \rho_0 [1 + \alpha_\rho (t - t_0)] = 0,0172 [1 + 0,0043 (60 - 20)] = 0,0172 [1 + 0,0043 (40)]\)
\(\rho_{+60} = 0,0172 [1 + 0,172] = 0,0172 \cdot 1,172 = 0,02016 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)
\(R_{+60} = \rho_{+60} \frac{l}{s} = 0,02016 \cdot \frac{90}{16} = 0,02016 \cdot 5,625 = 0,1134 \text{ Ом}\)
\(P_{+60} = I^2 R_{+60} = (75)^2 \cdot 0,1134 = 5625 \cdot 0,1134 = 637,88 \text{ Вт}\)
2. Сталь
\(l = 100 \text{ м}\), \(s = 20 \text{ мм}^2\), \(I = 80 \text{ А}\)
\(\rho_0 = 0,098 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\) при \(t_0 = 20^\circ\text{C}\)
\(\alpha_\rho = 0,006 \text{ К}^{-1}\)
*
При \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(\rho_{-20} = 0,098 [1 + 0,006 (-40)] = 0,098 [1 - 0,24] = 0,098 \cdot 0,76 = 0,07448 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)
\(R_{-20} = 0,07448 \cdot \frac{100}{20} = 0,07448 \cdot 5 = 0,3724 \text{ Ом}\)
\(P_{-20} = (80)^2 \cdot 0,3724 = 6400 \cdot 0,3724 = 2383,36 \text{ Вт}\)
*
При \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(\rho_{+60} = 0,098 [1 + 0,006 (40)] = 0,098 [1 + 0,24] = 0,098 \cdot 1,24 = 0,12152 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)
\(R_{+60} = 0,12152 \cdot \frac{100}{20} = 0,12152 \cdot 5 = 0,6076 \text{ Ом}\)
\(P_{+60} = (80)^2 \cdot 0,6076 = 6400 \cdot 0,6076 = 3888,64 \text{ Вт}\)
3. Вольфрам
\(l = 40 \text{ м}\), \(s = 0,04 \text{ мм}^2\), \(I = 6 \text{ А}\)
\(\rho_0 = 0,055 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\) при \(t_0 = 20^\circ\text{C}\)
\(\alpha_\rho = 0,0046 \text{ К}^{-1}\)
*
При \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(\rho_{-20} = 0,055 [1 + 0,0046 (-40)] = 0,055 [1 - 0,184] = 0,055 \cdot 0,816 = 0,04488 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)
\(R_{-20} = 0,04488 \cdot \frac{40}{0,04} = 0,04488 \cdot 1000 = 44,88 \text{ Ом}\)
\(P_{-20} = (6)^2 \cdot 44,88 = 36 \cdot 44,88 = 1615,68 \text{ Вт}\)
*
При \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(\rho_{+60} = 0,055 [1 + 0,0046 (40)] = 0,055 [1 + 0,184] = 0,055 \cdot 1,184 = 0,06512 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)
\(R_{+60} = 0,06512 \cdot \frac{40}{0,04} = 0,06512 \cdot 1000 = 65,12 \text{ Ом}\)
\(P_{+60} = (6)^2 \cdot 65,12 = 36 \cdot 65,12 = 2344,32 \text{ Вт}\)
4. Алюминий
\(l = 130 \text{ м}\), \(s = 70 \text{ мм}^2\), \(I = 80 \text{ А}\)
\(\rho_0 = 0,028 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\) при \(t_0 = 20^\circ\text{C}\)
\(\alpha_\rho = 0,0042 \text{ К}^{-1}\)
*
При \(t = -20^\circ\text{C}\):
\(\rho_{-20} = 0,028 [1 + 0,0042 (-40)] = 0,028 [1 - 0,168] = 0,028 \cdot 0,832 = 0,02330 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)
\(R_{-20} = 0,02330 \cdot \frac{130}{70} = 0,02330 \cdot 1,8571 = 0,0432 \text{ Ом}\)
\(P_{-20} = (80)^2 \cdot 0,0432 = 6400 \cdot 0,0432 = 276,48 \text{ Вт}\)
*
При \(t = +60^\circ\text{C}\):
\(\rho_{+60} = 0,028 [1 + 0,0042 (40)] = 0,028 [1 + 0,168] = 0,028 \cdot 1,168 = 0,03270 \text{ Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)
\(R_{+60} = 0,03270 \cdot \frac{130}{70} = 0,03270 \cdot 1,8571 = 0,0607 \text{ Ом}\)
\(P_{+60} = (80)^2 \cdot 0,0607 = 6400 \cdot 0,0607 = 388,48 \text{ Вт}\)
Заполненная таблица 2.1
| Вариант |
Металл |
Удельное сопротивление \(\rho_{-20}\) при \(t=-20^\circ\text{C}\) (\(\text{Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)) |
Удельное сопротивление \(\rho_{+60}\) при \(t=+60^\circ\text{C}\) (\(\text{Ом} \cdot \text{мм}^2/\text{м}\)) |
Омическое сопротивление \(R_{-20}\) (Ом) |
Потери мощности \(P_{-20}\) в проводнике (Вт) |
Омическое сопротивление \(R_{+60}\) (Ом) |
Потери мощности \(P_{+60}\) в проводнике (Вт) |
| 7 |
медь |
0,01424 |
0,02016 |
0,0801 |
450,56 |
0,1134 |
637,88 |
| сталь |
0,07448 |
0,12152 |
0,3724 |
2383,36 |
0,6076 |
3888,64 |
| вольфрам |
0,04488 |
0,06512 |
44,88 |
1615,68 |
65,12 |
2344,32 |
| алюминий |
0,02330 |
0,03270 |
0,0432 |
276,48 |
0,0607 |
388,48 |
Вывод согласно полученным результатам
Из расчетов видно, что с повышением температуры от \(-20^\circ\text{C}\) до \(+60^\circ\text{C}\) удельное сопротивление всех металлов увеличивается. Это приводит к увеличению омического сопротивления проводников и, как следствие, к увеличению потерь мощности в них при постоянном токе.
Наименьшие потери мощности при обеих температурах наблюдаются у алюминиевого проводника, а наибольшие — у стального проводника. Вольфрамовый проводник, несмотря на относительно небольшую длину и ток, имеет очень высокое сопротивление из-за малого сечения, что приводит к значительным потерям мощности. Медный проводник показывает средние значения потерь мощности.
Таким образом, для минимизации потерь мощности в проводнике при заданных условиях, предпочтительнее использовать материалы с низким удельным сопротивлением (например, алюминий или медь) и большим сечением. Также следует учитывать, что повышение температуры окружающей среды или самого проводника (например, из-за протекающего тока) приводит к увеличению потерь мощности.
