2.3. Контрольное задание.
Определить потери мощности в голом проводе из указанного в таблице 2.2 металла длиной \(l\) и сечением \(s\) при температурах провода \(-20 \text{ °C}\) и \(+60 \text{ °C}\), если величина тока в проводе равна \(I\). Относительное изменение удельного сопротивления при изменении температуры на 1 Кельвин (градус) (К-1) - средний температурный коэффициент удельного сопротивления металлов: \[ \alpha_p = \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dT} \] Положительный знак соответствует случаю, когда удельное сопротивление в окрестности данной точки возрастает при повышении температуры. Величина \(\alpha_p\) также является функцией температуры. В области линейной зависимости \(\rho(T)\) справедливо выражение: \[ \rho = \rho_0 [1 + \alpha_p t], \] где \(\rho\) - удельное сопротивление материала проводника; \(t\) - температура провода; \(\rho_0\) - удельное сопротивление проводникового материала при изменении температуры.2.4. Алгоритм расчета
1. Произвести расчет удельного сопротивления металла проводника при изменении температуры и заполнить таблицу 2.1. - при снижении температуры до значения \(t = -20 \text{ °C}\); - при повышении температуры проводника до значения \(t = +60 \text{ °C}\). 2. Рассчитать омическое сопротивление проводника (при различных температурах) по известной формуле: \[ R = \rho \frac{l}{s} \] 3. Определить потери мощности в голом проводнике \[ P = I^2 R \] 4. Сделать вывод согласно полученным результатам. Задание выполняется по вариантам. Номер варианта студент выбирает по последней цифре зачётной книжки.Решение для варианта 7
Исходные данные для варианта 7 (из Таблицы 2.2):
Для варианта 7, последняя цифра зачетной книжки - 7. Выбираем данные из строки 7 таблицы 2.2.
Медь:
- Длина \(l = 90 \text{ м}\)
- Сечение \(s = 16 \text{ мм}^2\)
- Ток \(I = 75 \text{ А}\)
- Удельное сопротивление при \(+20 \text{ °C}\) \(\rho_{20} = 0,0172 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\)
- Температурный коэффициент \(\alpha_p = 0,0043 \text{ К}^{-1}\)
Сталь:
- Длина \(l = 100 \text{ м}\)
- Сечение \(s = 20 \text{ мм}^2\)
- Ток \(I = 80 \text{ А}\)
- Удельное сопротивление при \(+20 \text{ °C}\) \(\rho_{20} = 0,098 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\)
- Температурный коэффициент \(\alpha_p = 0,006 \text{ К}^{-1}\)
Вольфрам:
- Длина \(l = 40 \text{ м}\)
- Сечение \(s = 0,04 \text{ мм}^2\)
- Ток \(I = 6 \text{ А}\)
- Удельное сопротивление при \(+20 \text{ °C}\) \(\rho_{20} = 0,055 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\)
- Температурный коэффициент \(\alpha_p = 0,0046 \text{ К}^{-1}\)
Алюминий:
- Длина \(l = 130 \text{ м}\)
- Сечение \(s = 70 \text{ мм}^2\)
- Ток \(I = 80 \text{ А}\)
- Удельное сопротивление при \(+20 \text{ °C}\) \(\rho_{20} = 0,028 \text{ мкОм} \cdot \text{м}\)
- Температурный коэффициент \(\alpha_p = 0,0042 \text{ К}^{-1}\)
1. Расчет удельного сопротивления \(\rho\) при \(t = -20 \text{ °C}\) и \(t = +60 \text{ °C}\)
Используем формулу: \(\rho = \rho_0 [1 + \alpha_p (t - t_0)]\), где \(\rho_0\) - удельное сопротивление при \(t_0 = +20 \text{ °C}\).
Для меди:
- При \(t = -20 \text{ °C}\): \[ \rho_{-20} = 0,0172 \cdot [1 + 0,0043 \cdot (-20 - 20)] = 0,0172 \cdot [1 + 0,0043 \cdot (-40)] = 0,0172 \cdot [1 - 0,172] = 0,0172 \cdot 0,828 = 0,0142416 \text{ мкОм} \cdot \text{м} \]
- При \(t = +60 \text{ °C}\): \[ \rho_{+60} = 0,0172 \cdot [1 + 0,0043 \cdot (60 - 20)] = 0,0172 \cdot [1 + 0,0043 \cdot 40] = 0,0172 \cdot [1 + 0,172] = 0,0172 \cdot 1,172 = 0,0201584 \text{ мкОм} \cdot \text{м} \]
Для стали:
- При \(t = -20 \text{ °C}\): \[ \rho_{-20} = 0,098 \cdot [1 + 0,006 \cdot (-20 - 20)] = 0,098 \cdot [1 + 0,006 \cdot (-40)] = 0,098 \cdot [1 - 0,24] = 0,098 \cdot 0,76 = 0,07448 \text{ мкОм} \cdot \text{м} \]
- При \(t = +60 \text{ °C}\): \[ \rho_{+60} = 0,098 \cdot [1 + 0,006 \cdot (60 - 20)] = 0,098 \cdot [1 + 0,006 \cdot 40] = 0,098 \cdot [1 + 0,24] = 0,098 \cdot 1,24 = 0,12152 \text{ мкОм} \cdot \text{м} \]
Для вольфрама:
- При \(t = -20 \text{ °C}\): \[ \rho_{-20} = 0,055 \cdot [1 + 0,0046 \cdot (-20 - 20)] = 0,055 \cdot [1 + 0,0046 \cdot (-40)] = 0,055 \cdot [1 - 0,184] = 0,055 \cdot 0,816 = 0,04488 \text{ мкОм} \cdot \text{м} \]
- При \(t = +60 \text{ °C}\): \[ \rho_{+60} = 0,055 \cdot [1 + 0,0046 \cdot (60 - 20)] = 0,055 \cdot [1 + 0,0046 \cdot 40] = 0,055 \cdot [1 + 0,184] = 0,055 \cdot 1,184 = 0,06512 \text{ мкОм} \cdot \text{м} \]
Для алюминия:
- При \(t = -20 \text{ °C}\): \[ \rho_{-20} = 0,028 \cdot [1 + 0,0042 \cdot (-20 - 20)] = 0,028 \cdot [1 + 0,0042 \cdot (-40)] = 0,028 \cdot [1 - 0,168] = 0,028 \cdot 0,832 = 0,023296 \text{ мкОм} \cdot \text{м} \]
- При \(t = +60 \text{ °C}\): \[ \rho_{+60} = 0,028 \cdot [1 + 0,0042 \cdot (60 - 20)] = 0,028 \cdot [1 + 0,0042 \cdot 40] = 0,028 \cdot [1 + 0,168] = 0,028 \cdot 1,168 = 0,032704 \text{ мкОм} \cdot \text{м} \]
2. Расчет омического сопротивления \(R\) при \(t = -20 \text{ °C}\) и \(t = +60 \text{ °C}\)
Используем формулу: \(R = \rho \frac{l}{s}\). Учитываем, что \(\rho\) дано в мкОм \(\cdot\) м, а \(s\) в мм\(^2\). Необходимо перевести \(\rho\) в Ом \(\cdot\) м и \(s\) в м\(^2\).
\(1 \text{ мкОм} \cdot \text{м} = 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}\)
\(1 \text{ мм}^2 = 10^{-6} \text{ м}^2\)
Таким образом, при расчете \(R = \rho \frac{l}{s}\), если \(\rho\) в мкОм \(\cdot\) м, \(l\) в м, \(s\) в мм\(^2\), то \(R\) будет в Омах.
Для меди:
- При \(t = -20 \text{ °C}\): \[ R_{-20} = 0,0142416 \cdot \frac{90}{16} = 0,0142416 \cdot 5,625 = 0,080109 \text{ Ом} \]
- При \(t = +60 \text{ °C}\): \[ R_{+60} = 0,0201584 \cdot \frac{90}{16} = 0,0201584 \cdot 5,625 = 0,113390 \text{ Ом} \]
Для стали:
- При \(t = -20 \text{ °C}\): \[ R_{-20} = 0,07448 \cdot \frac{100}{20} = 0,07448 \cdot 5 = 0,3724 \text{ Ом} \]
- При \(t = +60 \text{ °C}\): \[ R_{+60} = 0,12152 \cdot \frac{100}{20} = 0,12152 \cdot 5 = 0,6076 \text{ Ом} \]
Для вольфрама:
- При \(t = -20 \text{ °C}\): \[ R_{-20} = 0,04488 \cdot \frac{40}{0,04} = 0,04488 \cdot 1000 = 44,88 \text{ Ом} \]
- При \(t = +60 \text{ °C}\): \[ R_{+60} = 0,06512 \cdot \frac{40}{0,04} = 0,06512 \cdot 1000 = 65,12 \text{ Ом} \]
Для алюминия:
- При \(t = -20 \text{ °C}\): \[ R_{-20} = 0,023296 \cdot \frac{130}{70} \approx 0,023296 \cdot 1,85714 \approx 0,04327 \text{ Ом} \]
- При \(t = +60 \text{ °C}\): \[ R_{+60} = 0,032704 \cdot \frac{130}{70} \approx 0,032704 \cdot 1,85714 \approx 0,06073 \text{ Ом} \]
3. Определение потерь мощности \(P\) в проводе
Используем формулу: \(P = I^2 R\).
Для меди:
- При \(t = -20 \text{ °C}\): \[ P_{-20} = (75)^2 \cdot 0,080109 = 5625 \cdot 0,080109 = 450,613125 \text{ Вт} \]
- При \(t = +60 \text{ °C}\): \[ P_{+60} = (75)^2 \cdot 0,113390 = 5625 \cdot 0,113390 = 637,81875 \text{ Вт} \]
Для стали:
- При \(t = -20 \text{ °C}\): \[ P_{-20} = (80)^2 \cdot 0,3724 = 6400 \cdot 0,3724 = 2383,36 \text{ Вт} \]
- При \(t = +60 \text{ °C}\): \[ P_{+60} = (80)^2 \cdot 0,6076 = 6400 \cdot 0,6076 = 3888,64 \text{ Вт} \]
Для вольфрама:
- При \(t = -20 \text{ °C}\): \[ P_{-20} = (6)^2 \cdot 44,88 = 36 \cdot 44,88 = 1615,68 \text{ Вт} \]
- При \(t = +60 \text{ °C}\): \[ P_{+60} = (6)^2 \cdot 65,12 = 36 \cdot 65,12 = 2344,32 \text{ Вт} \]
Для алюминия:
- При \(t = -20 \text{ °C}\): \[ P_{-20} = (80)^2 \cdot 0,04327 = 6400 \cdot 0,04327 = 276,928 \text{ Вт} \]
- При \(t = +60 \text{ °C}\): \[ P_{+60} = (80)^2 \cdot 0,06073 = 6400 \cdot 0,06073 = 388,672 \text{ Вт} \]
Таблица 2.1 - Свод расчетных данных (пример)
| Вариант | Металл | Удельное сопротивление \(\rho_{-20}\) при \(t = -20 \text{ °C}\) (мкОм \(\cdot\) м) | Удельное сопротивление \(\rho_{+60}\) при \(t = +60 \text{ °C}\) (мкОм \(\cdot\) м) | Омическое сопротивление \(R_{-20}\) (Ом) | Омическое сопротивление \(R_{+60}\) (Ом) | Потери мощности \(P_{-20}\) в проводнике (Вт) | Потери мощности \(P_{+60}\) в проводнике (Вт) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 7 | Медь | 0,0142416 | 0,0201584 | 0,080109 | 0,113390 | 450,613 | 637,819 |
| Сталь | 0,07448 | 0,12152 | 0,3724 | 0,6076 | 2383,36 | 3888,64 | |
| Вольфрам | 0,04488 | 0,06512 | 44,88 | 65,12 | 1615,68 | 2344,32 | |
| Алюминий | 0,023296 | 0,032704 | 0,04327 | 0,06073 | 276,928 | 388,672 |
4. Вывод согласно полученным результатам
Из проведенных расчетов видно, что потери мощности в проводнике зависят от материала проводника, его геометрических размеров (длины и сечения), величины протекающего тока и температуры. С увеличением температуры удельное сопротивление металлов возрастает, что приводит к увеличению омического сопротивления проводника и, как следствие, к увеличению потерь мощности при постоянном токе.
Наименьшие потери мощности при заданных условиях наблюдаются у алюминиевого проводника, а наибольшие - у стального проводника. Вольфрамовый проводник, несмотря на относительно небольшую длину и ток, имеет очень малое сечение, что приводит к значительному омическому сопротивлению и, соответственно, к большим потерям мощности.
Для минимизации потерь мощности в электрических цепях следует использовать материалы с низким удельным сопротивлением (например, медь или алюминий), выбирать проводники с достаточным сечением и по возможности избегать значительного повышения температуры проводников.