Задание № 1
Твердый диэлектрик с объемным удельным сопротивлением \(\rho_v\) и удельным поверхностным сопротивлением \(\rho_s\) имеет форму и размеры, указанные в таблице 3.1 и на рисунке 3.1. Он установлен между электродами, на которых поддерживается постоянное напряжение \(U\). Определить ток, протекающий через диэлектрик, и потери мощности в нем.Формулы для расчета:
Ток, протекающий через объем:
\[ I_v = \frac{U}{R_v} \]Ток, протекающий по поверхности диэлектрика:
\[ I_s = \frac{U}{R_s} \]Суммарный ток утечки:
\[ I = I_v + I_s \]Потери мощности в диэлектрике:
\[ P = I \cdot U \]Удельное объемное сопротивление:
\[ \rho_v = R_v \frac{S}{h} \]Сопротивление объемное:
\[ R_v = \rho_v \frac{h}{S} \]где \(d\) - периметр, \(l = h\).
Удельное поверхностное сопротивление:
\[ \rho_s = R_s \frac{d}{l} \]Сопротивление поверхностное:
\[ R_s = \rho_s \frac{l}{d} \]Геометрические формулы для цилиндрического конденсатора (рис. 3.1, б):
Площадь внешней поверхности цилиндра:
\[ S = 2\pi a h \]Площадь внутренней поверхности цилиндра:
\[ S = 2\pi b h \]Периметр внешней поверхности цилиндра:
\[ d = 2\pi a + h \]Периметр внутренней поверхности цилиндра:
\[ d = 2\pi b + h \]Решение для варианта 7
Исходные данные для варианта 7 (из Таблицы 3.1):
- Форма: б (цилиндрический конденсатор)
- \(a = 115 \text{ мм}\)
- \(b = 20 \text{ мм}\)
- \(h = 35 \text{ мм}\)
- \(\rho_v = 1 \cdot 10^{11} \text{ Ом} \cdot \text{м}\)
- \(\rho_s = 1 \cdot 10^{12} \text{ Ом}\)
- \(U = 2,5 \text{ кВ}\)
Переведем все величины в систему СИ:
- \(a = 115 \text{ мм} = 0,115 \text{ м}\)
- \(b = 20 \text{ мм} = 0,020 \text{ м}\)
- \(h = 35 \text{ мм} = 0,035 \text{ м}\)
- \(U = 2,5 \text{ кВ} = 2500 \text{ В}\)
1. Расчет объемного сопротивления \(R_v\)
Для цилиндрического конденсатора (рис. 3.1, б) объемное сопротивление рассчитывается между внутренней и внешней поверхностями. Площадь \(S\) в формуле \(R_v = \rho_v \frac{h}{S}\) - это площадь, через которую протекает ток. В данном случае, это площадь боковой поверхности цилиндра. Однако, для цилиндрического конденсатора, ток протекает радиально. Формула \(R_v = \rho_v \frac{h}{S}\) применима для плоского конденсатора. Для цилиндрического конденсатора объемное сопротивление рассчитывается по формуле:
\[ R_v = \frac{\rho_v}{2\pi h} \ln \left( \frac{a}{b} \right) \]Подставим значения:
\[ R_v = \frac{1 \cdot 10^{11} \text{ Ом} \cdot \text{м}}{2 \cdot 3,14159 \cdot 0,035 \text{ м}} \ln \left( \frac{0,115 \text{ м}}{0,020 \text{ м}} \right) \] \[ R_v = \frac{1 \cdot 10^{11}}{0,2199113} \ln (5,75) \] \[ R_v = 4,5472 \cdot 10^{11} \cdot 1,7492 \approx 7,953 \cdot 10^{11} \text{ Ом} \]2. Расчет поверхностного сопротивления \(R_s\)
Поверхностное сопротивление рассчитывается по торцевым поверхностям (верхней и нижней). В данном случае, ток протекает по кольцевой поверхности. Длина пути тока \(l\) - это расстояние между электродами по поверхности, а \(d\) - периметр, перпендикулярный направлению тока. Для цилиндрического конденсатора, ток утечки по поверхности протекает по торцам. Длина пути тока \(l\) - это расстояние между внутренним и внешним радиусами, то есть \(a - b\). Периметр \(d\) - это средняя длина окружности, по которой протекает ток. Однако, в данном случае, более корректно использовать формулу для поверхностного сопротивления кольца:
\[ R_s = \frac{\rho_s}{2\pi} \frac{1}{a-b} \ln \left( \frac{a}{b} \right) \]Но в предоставленных формулах есть \(R_s = \rho_s \frac{l}{d}\). Здесь \(l\) - это расстояние между электродами по поверхности, а \(d\) - периметр, по которому протекает ток. Для торцевой поверхности цилиндра, \(l\) - это радиальное расстояние \(a-b\). Периметр \(d\) - это длина окружности, по которой протекает ток. Если ток течет радиально по торцу, то \(d\) - это длина окружности, а \(l\) - это \(a-b\). Однако, в формулах для цилиндрического конденсатора (рис. 3.1, б) указаны периметры внешней и внутренней поверхностей цилиндра, а не торцов. Это указывает на то, что поверхностный ток утечки рассматривается по боковым поверхностям, а не по торцам. Если это так, то \(l\) - это высота \(h\), а \(d\) - периметр окружности. Но это не соответствует стандартному пониманию поверхностного сопротивления между электродами. Давайте предположим, что поверхностный ток утечки протекает по торцевым поверхностям (верхней и нижней). Тогда \(l\) - это радиальное расстояние \(a-b\), а \(d\) - это длина окружности. Но \(d\) меняется от \(2\pi b\) до \(2\pi a\). В таком случае, для кольца, поверхностное сопротивление рассчитывается как:
\[ R_s = \frac{\rho_s}{2\pi} \ln \left( \frac{a}{b} \right) \]Однако, в предоставленных формулах есть \(R_s = \rho_s \frac{l}{d}\). Если \(l\) - это длина пути тока, а \(d\) - ширина пути тока. Для поверхностного сопротивления между электродами на торцевой поверхности, \(l\) - это радиальное расстояние \(a-b\). А \(d\) - это периметр, по которому течет ток. Если мы рассматриваем ток, текущий по верхней и нижней поверхностям, то \(l\) - это \(a-b\), а \(d\) - это средний периметр \(2\pi \frac{a+b}{2} = \pi(a+b)\). Но в задании указано, что \(l=h\). Это означает, что поверхностный ток утечки рассматривается по боковой поверхности цилиндра, а не по торцам. В этом случае, \(l\) - это высота \(h\), а \(d\) - это периметр окружности. Но какой периметр? Внешний или внутренний? Обычно, для поверхностного сопротивления между электродами, \(l\) - это расстояние между электродами, а \(d\) - это длина границы, по которой течет ток. Если электроды находятся на внутренней и внешней поверхностях, то поверхностный ток утечки будет течь по торцам. Если же электроды находятся на верхней и нижней поверхностях, то ток будет течь по боковой поверхности. В данном случае, "электроды являются внутренней и внешней поверхностью фигуры". Это означает, что ток течет радиально. Тогда поверхностный ток утечки будет течь по торцам. В этом случае, \(l\) - это радиальное расстояние \(a-b\), а \(d\) - это длина окружности. Но в формулах для цилиндрического конденсатора (рис. 3.1, б) указаны периметры внешней и внутренней поверхности цилиндра, а не торцов. Это может быть ошибкой в формулировке или подразумевается, что поверхностный ток утечки течет по боковой поверхности, а не по торцам. Если поверхностный ток утечки течет по боковой поверхности, то \(l\) - это высота \(h\), а \(d\) - это периметр окружности. Но какой окружности? Внешней или внутренней? Или средней? Давайте предположим, что \(l\) - это высота \(h\), а \(d\) - это средний периметр \(2\pi \frac{a+b}{2} = \pi(a+b)\). Тогда:
\[ R_s = \rho_s \frac{h}{\pi(a+b)} \]Подставим значения:
\[ R_s = 1 \cdot 10^{12} \text{ Ом} \cdot \frac{0,035 \text{ м}}{3,14159 \cdot (0,115 \text{ м} + 0,020 \text{ м})} \] \[ R_s = 1 \cdot 10^{12} \cdot \frac{0,035}{3,14159 \cdot 0,135} \] \[ R_s = 1 \cdot 10^{12} \cdot \frac{0,035}{0,424115} \] \[ R_s = 1 \cdot 10^{12} \cdot 0,08252 \approx 8,252 \cdot 10^{10} \text{ Ом} \]Однако, если электроды являются внутренней и внешней поверхностью, то поверхностный ток утечки будет течь по торцам. В этом случае, \(l\) - это радиальное расстояние \(a-b\), а \(d\) - это длина окружности. Но \(d\) меняется от \(2\pi b\) до \(2\pi a\). В таком случае, для кольца, поверхностное сопротивление рассчитывается как:
\[ R_s = \frac{\rho_s}{2\pi} \ln \left( \frac{a}{b} \right) \]Давайте используем эту формулу, так как она более корректна для поверхностного сопротивления кольца.
\[ R_s = \frac{1 \cdot 10^{12} \text{ Ом}}{2 \cdot 3,14159} \ln \left( \frac{0,115 \text{ м}}{0,020 \text{ м}} \right) \] \[ R_s = \frac{1 \cdot 10^{12}}{6,28318} \ln (5,75) \] \[ R_s = 1,5915 \cdot 10^{11} \cdot 1,7492 \approx 2,784 \cdot 10^{11} \text{ Ом} \]В задании указано, что \(l=h\). Это может означать, что поверхностный ток утечки рассматривается по боковой поверхности, а не по торцам. Если это так, то \(l\) - это высота \(h\), а \(d\) - это периметр окружности. Но какой периметр? Внешний или внутренний? Или средний? Если мы используем формулу \(R_s = \rho_s \frac{l}{d}\), и \(l=h\), то \(d\) должно быть периметром, по которому течет ток. Если ток течет по боковой поверхности, то \(d\) - это длина окружности. Но какой окружности? Внешней или внутренней? Или средней? Давайте предположим, что \(d\) - это средний периметр \(\pi(a+b)\). Тогда:
\[ R_s = \rho_s \frac{h}{\pi(a+b)} \] \[ R_s = 1 \cdot 10^{12} \cdot \frac{0,035}{3,14159 \cdot (0,115 + 0,020)} = 1 \cdot 10^{12} \cdot \frac{0,035}{0,424115} \approx 8,252 \cdot 10^{10} \text{ Ом} \]Это значение кажется более разумным, учитывая, что \(\rho_s\) дано в Омах, а не в Ом/квадрат. Если \(\rho_s\) дано в Омах, то это удельное поверхностное сопротивление, которое измеряется в Омах на квадрат. Тогда \(R_s = \rho_s \frac{l}{d}\) - это сопротивление, где \(l\) - длина, \(d\) - ширина. Если \(l=h\), то \(d\) - это периметр. Давайте использовать эту интерпретацию.
3. Расчет токов утечки \(I_v\) и \(I_s\)
Объемный ток утечки \(I_v\):
\[ I_v = \frac{U}{R_v} = \frac{2500 \text{ В}}{7,953 \cdot 10^{11} \text{ Ом}} \approx 3,143 \cdot 10^{-9} \text{ А} \]Поверхностный ток утечки \(I_s\):
\[ I_s = \frac{U}{R_s} = \frac{2500 \text{ В}}{8,252 \cdot 10^{10} \text{ Ом}} \approx 3,029 \cdot 10^{-8} \text{ А} \]4. Расчет суммарного тока утечки \(I\)
\[ I = I_v + I_s = 3,143 \cdot 10^{-9} \text{ А} + 3,029 \cdot 10^{-8} \text{ А} \] \[ I = 0,3143 \cdot 10^{-8} \text{ А} + 3,029 \cdot 10^{-8} \text{ А} = 3,3433 \cdot 10^{-8} \text{ А} \]5. Расчет потерь мощности \(P\)
\[ P = I \cdot U = 3,3433 \cdot 10^{-8} \text{ А} \cdot 2500 \text{ В} \] \[ P = 8,35825 \cdot 10^{-5} \text{ Вт} \]Результаты для варианта 7:
- Объемное сопротивление \(R_v \approx 7,953 \cdot 10^{11} \text{ Ом}\)
- Поверхностное сопротивление \(R_s \approx 8,252 \cdot 10^{10} \text{ Ом}\)
- Ток, протекающий через объем \(I_v \approx 3,143 \cdot 10^{-9} \text{ А}\)
- Ток, протекающий по поверхности \(I_s \approx 3,029 \cdot 10^{-8} \text{ А}\)
- Суммарный ток утечки \(I \approx 3,343 \cdot 10^{-8} \text{ А}\)
- Потери мощности в диэлектрике \(P \approx 8,358 \cdot 10^{-5} \text{ Вт}\)
Вывод:
В данном диэлектрике, установленном между электродами под напряжением 2,5 кВ, наблюдаются токи утечки как через объем, так и по поверхности. Поверхностный ток утечки \(I_s\) оказался значительно больше объемного тока утечки \(I_v\), что указывает на более низкое поверхностное сопротивление по сравнению с объемным. Суммарный ток утечки составляет примерно \(3,343 \cdot 10^{-8} \text{ А}\), а потери мощности в диэлектрике составляют около \(8,358 \cdot 10^{-5} \text{ Вт}\). Эти потери мощности приводят к нагреву диэлектрика и могут влиять на его изоляционные свойства и срок службы.