Решение задачи 75: Парабола, Эллипс, Гипербола

Для решения задания №75 из таблицы выпишем исходные данные: 1. Уравнение параболы: \( y^2 + 0,5x = 0 \) 2. Уравнение эллипса: \( x^2 + y^2 + 4x = 0 \) 3. Действительная полуось гиперболы: \( a = 2\sqrt{2} \) 4. Эксцентриситет гиперболы: \( \varepsilon = \sqrt{2} \) Приведем уравнения к каноническому виду и определим основные характеристики кривых. 1. Парабола Уравнение: \( y^2 + 0,5x = 0 \) Перенесем слагаемое с \( x \) в правую часть: \[ y^2 = -0,5x \] Каноническое уравнение параболы имеет вид \( y^2 = 2px \). В нашем случае \( 2p = -0,5 \), следовательно, параметр \( p = -0,25 \). Ветви параболы направлены влево вдоль оси \( Ox \). Вершина находится в точке \( (0; 0) \). 2. Эллипс (в данном случае окружность) Уравнение: \( x^2 + y^2 + 4x = 0 \) Для приведения к каноническому виду выделим полный квадрат по переменной \( x \): \[ (x^2 + 4x + 4) - 4 + y^2 = 0 \] \[ (x + 2)^2 + y^2 = 4 \] Разделим обе части на 4: \[ \frac{(x + 2)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1 \] Это уравнение окружности с центром в точке \( C(-2; 0) \) и радиусом \( R = 2 \). В терминах эллипса: полуоси \( a = b = 2 \). 3. Гипербола Дано: \( a = 2\sqrt{2} \), \( \varepsilon = \sqrt{2} \). Найдем фокусное расстояние \( c \), используя формулу эксцентриситета \( \varepsilon = \frac{c}{a} \): \[ c = a \cdot \varepsilon = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4 \] Найдем мнимую полуось \( b \) из соотношения \( c^2 = a^2 + b^2 \): \[ b^2 = c^2 - a^2 = 4^2 - (2\sqrt{2})^2 = 16 - 8 = 8 \] \[ b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Так как \( a = b \), гипербола является равнобочной. Каноническое уравнение: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Подставляем значения: \[ \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1 \] Или в общем виде: \( x^2 - y^2 = 8 \).