Решение задачи 75: Парабола и Эллипс

Решение задания №75 1. Парабола Дано уравнение: \(y^2 + 0,5x = 0\). Приведем его к каноническому виду \(y^2 = -2px\): \[y^2 = -0,5x\] Отсюда \(2p = 0,5\), следовательно, \(p = 0,25\). Парабола симметрична относительно оси \(Ox\) и направлена ветвями влево. Фокус параболы находится в точке \(F(-p/2; 0)\): \[F(-0,125; 0)\] Уравнение директрисы: \(x = p/2\), то есть \(x = 0,125\). 2. Эллипс Дано уравнение: \(x^2 + y^2 + 4x = 0\). Выделим полный квадрат по переменной \(x\): \[(x^2 + 4x + 4) + y^2 = 4\] \[(x + 2)^2 + y^2 = 4\] Разделим обе части на 4, чтобы получить канонический вид: \[\frac{(x + 2)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1\] Это уравнение окружности (частный случай эллипса) с центром в точке \(C(-2; 0)\) и радиусом \(R = 2\). Большая и малая полуоси равны: \(a = 2\), \(b = 2\). Эксцентриситет окружности \(\varepsilon = 0\). 3. Гипербола По условию даны действительная полуось \(a = 2\sqrt{2}\) и эксцентриситет \(\varepsilon = \sqrt{2}\). Найдем фокусное расстояние \(c\), используя формулу эксцентриситета \(\varepsilon = \frac{c}{a}\): \[c = a \cdot \varepsilon = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4\] Найдем мнимую полуось \(b\) из соотношения \(c^2 = a^2 + b^2\): \[b^2 = c^2 - a^2 = 4^2 - (2\sqrt{2})^2 = 16 - 8 = 8\] \[b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] Так как \(a = b\), гипербола является равнобочной. Каноническое уравнение гиперболы: \[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\] \[\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1\]