Решение задачи 75: Определение канонического уравнения гиперболы

Для задания №75, исходя из данных таблицы (действительная полуось \(a = 2\sqrt{2}\) и эксцентриситет \(\varepsilon = \sqrt{2}\)), составим каноническое уравнение гиперболы. Решение: 1. Запишем известные параметры гиперболы: Действительная полуось: \(a = 2\sqrt{2}\) Эксцентриситет: \(\varepsilon = \sqrt{2}\) 2. Найдем половину фокусного расстояния \(c\). Используем формулу эксцентриситета \(\varepsilon = \frac{c}{a}\): \[c = a \cdot \varepsilon\] Подставим значения: \[c = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4\] 3. Найдем квадрат мнимой полуоси \(b^2\). Для гиперболы справедливо соотношение: \(c^2 = a^2 + b^2\). Отсюда: \[b^2 = c^2 - a^2\] Вычислим значения: \[a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8\] \[c^2 = 4^2 = 16\] \[b^2 = 16 - 8 = 8\] Следовательно, мнимая полуось \(b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). 4. Составим каноническое уравнение гиперболы. Общий вид уравнения: \[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\] Подставляя найденные значения \(a^2 = 8\) и \(b^2 = 8\), получаем: \[\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1\] Ответ: Уравнение гиперболы \(\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1\). Так как \(a = b\), данная гипербола является равнобочной.