Решение задачи 75: Найдем уравнение гиперболы

Для задания №75, используя данные из таблицы (действительная полуось \(a = 2\sqrt{2}\) и эксцентриситет \(\varepsilon = \sqrt{2}\)), приведем подробное решение для нахождения уравнения гиперболы. Решение: 1. Определим параметры гиперболы: Действительная полуось: \(a = 2\sqrt{2}\) Эксцентриситет: \(\varepsilon = \sqrt{2}\) 2. Найдем параметр \(c\) (расстояние от центра до фокуса): Используем формулу эксцентриситета \(\varepsilon = \frac{c}{a}\), откуда следует: \[c = a \cdot \varepsilon\] Подставим значения: \[c = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4\] 3. Найдем квадрат мнимой полуоси \(b^2\): Для гиперболы выполняется равенство \(c^2 = a^2 + b^2\). Выразим \(b^2\): \[b^2 = c^2 - a^2\] Возведем известные величины в квадрат: \[c^2 = 4^2 = 16\] \[a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8\] Вычислим \(b^2\): \[b^2 = 16 - 8 = 8\] Соответственно, мнимая полуось \(b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). 4. Запишем каноническое уравнение гиперболы: Уравнение имеет вид: \[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\] Подставляем полученные значения \(a^2 = 8\) и \(b^2 = 8\): \[\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1\] Ответ: Каноническое уравнение гиперболы \(\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1\). Так как полуоси равны (\(a = b\)), гипербола называется равнобочной.