Решение задачи 75: Парабола и Эллипс

Согласно условию заданий 61-80, для номера 75 необходимо выполнить четыре пункта. Ниже представлено решение, оформленное для записи в тетрадь. Задание №75 1. Парабола Дано уравнение: \(y^2 + 0,5x = 0\). Приведем к виду \(y^2 = -2px\): \[y^2 = -0,5x\] Отсюда \(2p = 0,5\), значит \(p = 0,25\). Координаты фокуса \(F(-p/2; 0)\): \[F(-0,125; 0)\] Уравнение директрисы \(x = p/2\): \[x = 0,125\] 2. Эллипс Дано уравнение: \(x^2 + y^2 + 4x = 0\). Выделим полный квадрат: \[(x^2 + 4x + 4) + y^2 = 4\] \[(x + 2)^2 + y^2 = 4\] Разделим на 4: \[\frac{(x + 2)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1\] Это окружность с центром \(C(-2; 0)\) и радиусом \(R = 2\). Для эллипса: \(a = 2\), \(b = 2\). Найдем \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{4 - 4} = 0\). Координаты фокусов совпадают с центром: \(F_1(-2; 0)\), \(F_2(-2; 0)\). Эксцентриситет: \(\varepsilon = \frac{c}{a} = \frac{0}{2} = 0\). 3. Гипербола (составление уравнения) Дано: \(a = 2\sqrt{2}\), \(\varepsilon = \sqrt{2}\). Найдем \(c\): \[c = a \cdot \varepsilon = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4\] Найдем \(b^2\): \[b^2 = c^2 - a^2 = 4^2 - (2\sqrt{2})^2 = 16 - 8 = 8\] Каноническое уравнение: \[\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1\] 4. Гипербола (параметры) Координаты фокусов \(F(\pm c; 0)\): \[F_1(-4; 0), F_2(4; 0)\] Уравнения асимптот \(y = \pm \frac{b}{a}x\): Так как \(a = b = \sqrt{8}\), то \(\frac{b}{a} = 1\). \[y = x, y = -x\] Для построения графиков: - Парабола: вершина \((0;0)\), ветви влево. - Эллипс: окружность с центром \((-2;0)\) и радиусом 2. - Гипербола: равнобочная, проходит через вершины \((\pm 2\sqrt{2}; 0)\), асимптоты — биссектрисы координатных углов.