Решение задачи 75: Парабола, Эллипс и Гипербола

Для выполнения задания №75 воспользуемся данными из таблицы 6 и инструкциями к разделу «Задания 61-80». Исходные данные для варианта 75: Парабола: \( y^2 + 0,5x = 0 \) Эллипс: \( x^2 + y^2 + 4x = 0 \) Гипербола: \( a = 2\sqrt{2} \), \( \varepsilon = \sqrt{2} \) 1. Парабола Уравнение: \( y^2 = -0,5x \). Это уравнение вида \( y^2 = 2px \), где \( 2p = -0,5 \), отсюда \( p = -0,25 \). Координаты фокуса: \( F(\frac{p}{2}; 0) = F(-0,125; 0) \). Уравнение директрисы: \( x = -\frac{p}{2} \), то есть \( x = 0,125 \). Построение: Вершина в \( (0;0) \), ветви направлены влево. 2. Эллипс Уравнение: \( x^2 + y^2 + 4x = 0 \). Приведем к каноническому виду, выделив полный квадрат: \( (x^2 + 4x + 4) + y^2 = 4 \) \( (x + 2)^2 + y^2 = 4 \) Разделим на 4: \[ \frac{(x + 2)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1 \] Это окружность (частный случай эллипса, где \( a = b = 2 \)) с центром в точке \( C(-2; 0) \). Так как \( a = b \), фокусы совпадают с центром: \( F_1 = F_2 = (-2; 0) \). Эксцентриситет для окружности: \( \varepsilon = 0 \). 3. Гипербола Дано: \( a = 2\sqrt{2} \), \( \varepsilon = \sqrt{2} \). Найдем \( c \): \( c = a \cdot \varepsilon = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \). Найдем \( b^2 \): \( b^2 = c^2 - a^2 = 4^2 - (2\sqrt{2})^2 = 16 - 8 = 8 \). Каноническое уравнение: \[ \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1 \] Координаты фокусов: \( F_1(-4; 0) \), \( F_2(4; 0) \). Уравнения асимптот: \( y = \pm \frac{b}{a}x \). Так как \( a = b = \sqrt{8} \), то \( y = \pm x \). Резюме для тетради: 1) Парабола: Фокус \( F(-0,125; 0) \), директриса \( x = 0,125 \). 2) Эллипс: Центр \( (-2; 0) \), фокусы \( (-2; 0) \), \( \varepsilon = 0 \). 3) Гипербола: Уравнение \( \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1 \), фокусы \( F(\pm 4; 0) \), асимптоты \( y = \pm x \).