Решение задачи 75: Уравнение

Для выполнения задания №75 нам понадобятся данные из таблицы 6 (строка 75) и таблицы 4 (строка 35, так как для заданий 81-100 используются координаты из задач 21-40, а \( 75 - 40 = 35 \)). Часть 1. Задания 61-80 (Кривые второго порядка) 1. Парабола Дано уравнение: \( y^2 + 0,5x = 0 \). Приведем к виду \( y^2 = 2px \): \[ y^2 = -0,5x \] Отсюда \( 2p = -0,5 \), значит \( p = -0,25 \). Координаты фокуса: \( F(\frac{p}{2}; 0) = F(-0,125; 0) \). Уравнение директрисы: \( x = -\frac{p}{2} \Rightarrow x = 0,125 \). 2. Эллипс Дано уравнение: \( x^2 + y^2 + 4x = 0 \). Выделим полный квадрат: \[ (x^2 + 4x + 4) + y^2 = 4 \Rightarrow (x + 2)^2 + y^2 = 4 \] Разделим на 4: \[ \frac{(x + 2)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1 \] Это окружность с центром в точке \( (-2; 0) \) и радиусом \( R = 2 \). Координаты фокусов: так как \( a = b \), фокусы совпадают с центром \( F_1 = F_2 = (-2; 0) \). Эксцентриситет: \( \varepsilon = 0 \). 3. Гипербола Дано: \( a = 2\sqrt{2} \), \( \varepsilon = \sqrt{2} \). Найдем параметр \( c \): \( c = a \cdot \varepsilon = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \). Найдем \( b^2 \): \( b^2 = c^2 - a^2 = 4^2 - (2\sqrt{2})^2 = 16 - 8 = 8 \). Каноническое уравнение: \[ \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1 \] Координаты фокусов: \( F_1(-4; 0) \), \( F_2(4; 0) \). Уравнения асимптот: \( y = \pm \frac{b}{a}x \Rightarrow y = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}x \Rightarrow y = \pm x \). Часть 2. Задания 81-100 (Плоскость и прямая) Для варианта 75 возьмем координаты точек из таблицы 4 (строка 35): \( A(10; 5) \), \( B(8; -9) \), \( C(7; -5) \), \( D(1; -7) \). 1) Уравнение плоскости ABC: Используем определитель: \[ \begin{vmatrix} x - 10 & y - 5 & z - 0 \\ 8 - 10 & -9 - 5 & 0 - 0 \\ 7 - 10 & -5 - 5 & 0 - 0 \end{vmatrix} = 0 \] Так как все точки лежат в плоскости \( z = 0 \) (координаты \( z \) не указаны, принимаем за 0), уравнение плоскости: \[ z = 0 \] 2) Плоскость через D параллельно ABC: Так как плоскость параллельна \( z = 0 \) и проходит через \( D(1; -7; 0) \), её уравнение: \[ z = 0 \] 3) Уравнения прямой AB: Направляющий вектор \( \vec{AB} = (8-10; -9-5; 0-0) = (-2; -14; 0) \). Каноническое уравнение: \[ \frac{x - 10}{-2} = \frac{y - 5}{-14}; z = 0 \] Параметрические: \[ x = 10 - 2t, y = 5 - 14t, z = 0 \] 4) Прямая через D перпендикулярно ABC: Направляющий вектор прямой совпадает с нормалью плоскости \( \vec{n} = (0; 0; 1) \). \[ \frac{x - 1}{0} = \frac{y + 7}{0} = \frac{z - 0}{1} \] 5) Расстояние от D до ABC: Так как точка D лежит в плоскости \( z = 0 \), расстояние \( d = 0 \).