Решение системы уравнений методом Гаусса: 7x+2y-3z=-9

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Запишем систему уравнений: \[ \begin{cases} 7x + 2y - 3z = -9 \\ x - y + z = -12 \\ 3x + 4y - 3z = 17 \end{cases} \] Для удобства вычислений поменяем первое и второе уравнения местами, чтобы коэффициент при \(x\) в первой строке был равен 1: \[ \begin{cases} x - y + z = -12 \\ 7x + 2y - 3z = -9 \\ 3x + 4y - 3z = 17 \end{cases} \] Шаг 1. Исключим \(x\) из второго и третьего уравнений. Для этого ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на \(-7\), а к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на \(-3\). Вычисление для 2-го уравнения: \(7 + 1 \cdot (-7) = 0\) \(2 + (-1) \cdot (-7) = 9\) \(-3 + 1 \cdot (-7) = -10\) \(-9 + (-12) \cdot (-7) = -9 + 84 = 75\) Вычисление для 3-го уравнения: \(3 + 1 \cdot (-3) = 0\) \(4 + (-1) \cdot (-3) = 7\) \(-3 + 1 \cdot (-3) = -6\) \(17 + (-12) \cdot (-3) = 17 + 36 = 53\) Получаем систему: \[ \begin{cases} x - y + z = -12 \\ 9y - 10z = 75 \\ 7y - 6z = 53 \end{cases} \] Шаг 2. Исключим \(y\) из третьего уравнения. Умножим второе уравнение на 7, а третье на \(-9\) и сложим их: \(9y \cdot 7 + 7y \cdot (-9) = 63y - 63y = 0\) \(-10z \cdot 7 + (-6z) \cdot (-9) = -70z + 54z = -16z\) \(75 \cdot 7 + 53 \cdot (-9) = 525 - 477 = 48\) Получаем уравнение: \[ -16z = 48 \] \[ z = \frac{48}{-16} \] \[ z = -3 \] Шаг 3. Обратный ход. Находим \(y\) из второго уравнения: \[ 9y - 10 \cdot (-3) = 75 \] \[ 9y + 30 = 75 \] \[ 9y = 45 \] \[ y = 5 \] Находим \(x\) из первого уравнения: \[ x - 5 + (-3) = -12 \] \[ x - 8 = -12 \] \[ x = -12 + 8 \] \[ x = -4 \] Проверка: \(7 \cdot (-4) + 2 \cdot 5 - 3 \cdot (-3) = -28 + 10 + 9 = -9\) (Верно) Ответ: \(x = -4\), \(y = 5\), \(z = -3\).