Решение задач по алгебре для 8 класса

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Вычислите: \((\sqrt{128} + \sqrt{50}) \cdot \sqrt{2}\) Решение: Сначала упростим корни в скобках: \[\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}\] \[\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\] Теперь подставим эти значения в выражение: \[(8\sqrt{2} + 5\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}\] \[(13\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}\] \[13 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})\] \[13 \cdot 2\] \[26\] Ответ: 26 2. Выполните умножение \((2 - \sqrt{7})(3 + 4\sqrt{7})\) Решение: Используем правило умножения многочленов (каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй скобки): \[2 \cdot 3 + 2 \cdot 4\sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} \cdot 4\sqrt{7}\] \[6 + 8\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 4 \cdot (\sqrt{7} \cdot \sqrt{7})\] \[6 + 8\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 4 \cdot 7\] \[6 + 5\sqrt{7} - 28\] \[6 - 28 + 5\sqrt{7}\] \[-22 + 5\sqrt{7}\] Ответ: \(-22 + 5\sqrt{7}\) 3. Выполните умножение \((\sqrt{15} - 2\sqrt{6})(3\sqrt{15} + 2\sqrt{6})\) Решение: Используем правило умножения многочленов: \[\sqrt{15} \cdot 3\sqrt{15} + \sqrt{15} \cdot 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{15} - 2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}\] \[3 \cdot (\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}) + 2\sqrt{15 \cdot 6} - 6\sqrt{6 \cdot 15} - 4 \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{6})\] \[3 \cdot 15 + 2\sqrt{90} - 6\sqrt{90} - 4 \cdot 6\] \[45 - 4\sqrt{90} - 24\] Упростим \(\sqrt{90}\): \[\sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}\] Подставим обратно: \[45 - 4 \cdot 3\sqrt{10} - 24\] \[45 - 12\sqrt{10} - 24\] \[21 - 12\sqrt{10}\] Ответ: \(21 - 12\sqrt{10}\) 4. Вычислите: \((2\sqrt{2} - \sqrt{19})^2 + 4\sqrt{38}\) Решение: Используем формулу квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \[(2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{19} + (\sqrt{19})^2 + 4\sqrt{38}\] \[(4 \cdot 2) - 4\sqrt{2 \cdot 19} + 19 + 4\sqrt{38}\] \[8 - 4\sqrt{38} + 19 + 4\sqrt{38}\] \[8 + 19 - 4\sqrt{38} + 4\sqrt{38}\] \[27\] Ответ: 27 5. Докажите, что \(\sqrt{98 - 18\sqrt{17}} = \sqrt{17} - 9\). Решение: Чтобы доказать равенство, можно возвести обе части в квадрат. Если квадраты равны, то и исходные выражения равны (при условии, что обе части неотрицательны). Правая часть: \(\sqrt{17} - 9\). Заметим, что \(\sqrt{17}\) примерно равно 4.12. Тогда \(\sqrt{17} - 9\) будет отрицательным числом (\(4.12 - 9 = -4.88\)). Корень квадратный из числа по определению всегда неотрицателен. Поэтому \(\sqrt{98 - 18\sqrt{17}}\) не может быть равно \(\sqrt{17} - 9\). Возможно, в условии опечатка, и должно быть \(\sqrt{98 - 18\sqrt{17}} = 9 - \sqrt{17}\). Давайте докажем для \(\sqrt{98 - 18\sqrt{17}} = 9 - \sqrt{17}\). Для этого возведем правую часть в квадрат: \[(9 - \sqrt{17})^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot \sqrt{17} + (\sqrt{17})^2\] \[= 81 - 18\sqrt{17} + 17\] \[= 81 + 17 - 18\sqrt{17}\] \[= 98 - 18\sqrt{17}\] Так как \((9 - \sqrt{17})^2 = 98 - 18\sqrt{17}\), и \(9 - \sqrt{17} > 0\) (поскольку \(9 = \sqrt{81}\), а \(\sqrt{81} > \sqrt{17}\)), то \[\sqrt{98 - 18\sqrt{17}} = 9 - \sqrt{17}\] Таким образом, исходное утверждение \(\sqrt{98 - 18\sqrt{17}} = \sqrt{17} - 9\) неверно. Ответ: Утверждение неверно. Правильно: \(\sqrt{98 - 18\sqrt{17}} = 9 - \sqrt{17}\). 6. Упростите выражение \((\sqrt{6} - 6)^2 + (9 + \sqrt{6})^2\) Решение: Используем формулы квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) и квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): Первая скобка: \[(\sqrt{6} - 6)^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 6 + 6^2\] \[= 6 - 12\sqrt{6} + 36\] \[= 42 - 12\sqrt{6}\] Вторая скобка: \[(9 + \sqrt{6})^2 = 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2\] \[= 81 + 18\sqrt{6} + 6\] \[= 87 + 18\sqrt{6}\] Теперь сложим результаты: \[(42 - 12\sqrt{6}) + (87 + 18\sqrt{6})\] \[42 - 12\sqrt{6} + 87 + 18\sqrt{6}\] \[(42 + 87) + (-12\sqrt{6} + 18\sqrt{6})\] \[129 + 6\sqrt{6}\] Ответ: \(129 + 6\sqrt{6}\) 7. Вычислите: \(\sqrt{2\sqrt{34} - 6} \cdot \sqrt{2\sqrt{34} + 6}\) Решение: Используем свойство \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\): \[\sqrt{(2\sqrt{34} - 6)(2\sqrt{34} + 6)}\] Теперь используем формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \[\sqrt{(2\sqrt{34})^2 - 6^2}\] \[\sqrt{(4 \cdot 34) - 36}\] \[\sqrt{136 - 36}\] \[\sqrt{100}\] \[10\] Ответ: 10 8. Вычислите: \((22 - 8\sqrt{6})(\sqrt{6} + 4)^2\) Решение: Сначала возведем в квадрат вторую скобку, используя формулу квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): \[(\sqrt{6} + 4)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 4 + 4^2\] \[= 6 + 8\sqrt{6} + 16\] \[= 22 + 8\sqrt{6}\] Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[(22 - 8\sqrt{6})(22 + 8\sqrt{6})\] Используем формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \[22^2 - (8\sqrt{6})^2\] \[484 - (64 \cdot 6)\] \[484 - 384\] \[100\] Ответ: 100 9. Вычислите: \(\sqrt{377^2 - 345^2}\) Решение: Используем формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \[\sqrt{(377 - 345)(377 + 345)}\] \[\sqrt{(32)(722)}\] Теперь умножим числа под корнем: \[32 \cdot 722 = 23104\] \[\sqrt{23104}\] Чтобы найти корень, можно разложить число на множители или попробовать подобрать. Заметим, что \(23104 = 16 \cdot 1444 = 16 \cdot 4 \cdot 361 = 64 \cdot 19^2\). \[\sqrt{64 \cdot 19^2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{19^2} = 8 \cdot 19\] \[8 \cdot 19 = 152\] Ответ: 152 10. Вычислите: \(\sqrt{72.5^2 - 52.5^2}\) Решение: Используем формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \[\sqrt{(72.5 - 52.5)(72.5 + 52.5)}\] \[\sqrt{(20)(125)}\] Теперь умножим числа под корнем: \[20 \cdot 125 = 2500\] \[\sqrt{2500}\] \[50\] Ответ: 50 11. Вычислите: \(\sqrt{\frac{54^2 - 46^2}{128}}\) Решение: Сначала упростим числитель, используя формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\): \[54^2 - 46^2 = (54 - 46)(54 + 46)\] \[= (8)(100)\] \[= 800\] Теперь подставим это значение в дробь: \[\sqrt{\frac{800}{128}}\] Упростим дробь. Можно разделить числитель и знаменатель на общий множитель. Например, на 8: \[\frac{800}{128} = \frac{800 \div 8}{128 \div 8} = \frac{100}{16}\] Теперь извлечем корень: \[\sqrt{\frac{100}{16}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{16}} = \frac{10}{4}\] Упростим дробь: \[\frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5\] Ответ: 2.5