Решение задачи: Доказать √98 - 18√17 = √17 - 9

Хорошо, давайте еще раз подробно разберем задачу номер 5. 5. Докажите, что \(\sqrt{98 - 18\sqrt{17}} = \sqrt{17} - 9\). Решение: Для того чтобы доказать равенство \(\sqrt{A} = B\), необходимо выполнить два условия: 1. Возвести обе части в квадрат и показать, что \(A = B^2\). 2. Убедиться, что правая часть \(B\) является неотрицательным числом, так как квадратный корень по определению всегда неотрицателен. Давайте проверим второе условие для данного выражения: Правая часть равенства: \(\sqrt{17} - 9\). Приблизительное значение \(\sqrt{17}\) находится между \(\sqrt{16}=4\) и \(\sqrt{25}=5\). Точнее, \(\sqrt{17} \approx 4.12\). Теперь подставим это значение в правую часть: \[\sqrt{17} - 9 \approx 4.12 - 9 = -4.88\] Мы видим, что правая часть \(\sqrt{17} - 9\) является отрицательным числом. Однако, квадратный корень из любого числа (если он существует в действительных числах) всегда является неотрицательным числом. То есть, \(\sqrt{98 - 18\sqrt{17}} \ge 0\). Поскольку левая часть выражения (корень) не может быть отрицательной, а правая часть \(\sqrt{17} - 9\) является отрицательной, то равенство \(\sqrt{98 - 18\sqrt{17}} = \sqrt{17} - 9\) не может быть верным. Вывод: Данное утверждение неверно. Возможно, в задаче допущена опечатка, и имелось в виду доказать, что \(\sqrt{98 - 18\sqrt{17}} = 9 - \sqrt{17}\). Давайте проверим это предположение. Для этого возведем в квадрат правую часть \(9 - \sqrt{17}\): \[(9 - \sqrt{17})^2\] Используем формулу квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): \[(9 - \sqrt{17})^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot \sqrt{17} + (\sqrt{17})^2\] \[= 81 - 18\sqrt{17} + 17\] \[= 81 + 17 - 18\sqrt{17}\] \[= 98 - 18\sqrt{17}\] Мы получили выражение, которое находится под знаком корня в левой части. Теперь проверим, является ли правая часть \(9 - \sqrt{17}\) неотрицательной: \[9 - \sqrt{17}\] Так как \(9 = \sqrt{81}\), а \(\sqrt{81} > \sqrt{17}\), то \(9 - \sqrt{17} > 0\). Оба условия выполнены для равенства \(\sqrt{98 - 18\sqrt{17}} = 9 - \sqrt{17}\). Таким образом, исходное утверждение в задаче неверно. Ответ: Утверждение \(\sqrt{98 - 18\sqrt{17}} = \sqrt{17} - 9\) неверно, так как правая часть является отрицательным числом, а квадратный корень не может быть отрицательным.